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Uneigentliche Integrale  

 

sind Integrale, bei denen

• das Integrationsintervall unbeschränkt ist, oder
• die Funktion unbeschränkt ist, oder
• die Intervallgrenzen nicht im Definitionsbereich
  liegen.

Das Integral wird mit Hilfe eines Grenzwertes berechnet.

Z.B. falls $f$ in $b$ nicht definiert ist, oder $b=\infty$:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \int_a^b f(x) \mbox{dx}= \lim_{t\to b} \int_a^t f(x)\mbox{dx} =\lim_{t\to b} (F(t)-F(a))$}}$

BEISPIEL
Die Funktion $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ist in $x=0$ nicht definiert.
Fassen $\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{x}} dx$ als Abkürzung für $\lim\limits_{t\to 0}\int_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ auf.

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{t\to 0} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim_{t\to 0} 2\sqrt{x}\biggr\vert_t^1$$

$$= \lim_{t\to 0}(2-2\sqrt{t}) = 2$$

BEISPIEL
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t\to\infty} \int_1^t x^{-2} dx$$

$$= \lim_{t\to\infty} -\frac{1}{x}\biggr\vert_1^t = \lim_{t\to\infty} -\frac{1}{t} -(-1) = 1$$

BEISPIEL
$$\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \lim_{t\to\infty} \int_1^t \frac{1}{x} dx = \lim_{t\to\infty} \ln(x)\biggr\vert_1^t$$

$$= \lim_{t\to\infty} \ln(t) -\ln(1) = \infty$$

Das uneigentliche Integral existiert somit nicht.