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Was ist ein Integral  

Wir suchen eine Funktion, die uns den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der $x$-Achse innerhalb eines Intervalls wiedergibt. Die Fläche unterhalb der $x$-Achse wird dabei negativ gezählt. Diese Funktion heißt das  Integral

$$\int\limits_a^b f(x)\mbox{dx}$$

der Funktion $f$.

Berechnung durch Approximation von $f$ durch Treppenfunktionen:

Einfacher für stetige Funktionen
( Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung):

Sei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$,dann gilt für das Integral

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \int_a^b f(x) \mbox{dx} = F(x) \biggr\vert _a^b = F(b)-F(a)$}}$

BEISPIEL
Wir suchen das Integral der Funktion $f(x)=x^2$ im Intervall $[\,0,1\,]$.

$$\int_0^1 x^2 \,\mbox{dx} = \left.\frac{1}{3}\,x^3\right\ve... ...1= \frac{1}{3}\cdot 1^3 - \frac{1}{3}\cdot 0^3= \frac{1}{3}$$

Erklärung des Hauptsatzes:

Wir bezeichnen mit $A(x)$ die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse zwischen 0 und $x$.

$$m_h\cdot h\leq A(x+h)-A(x)\leq M_h\cdot h$$

$$m_h \leq \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \leq M_h$$

Grenzübergang $h\to 0$:($\lim\limits_{h\to 0} m_h=f(x)$)

$$f(x)\leq \underbrace{\lim_{h\to 0} \frac{A(x+h)-A(x)}{h}}_{=A'(x)} \leq f(x)$$

$$A'(x)=f(x)$$

d.h. $A(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$.