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26. Juni 1996

Aufgabe 76

Berechnen Sie $\displaystyle {\partial x_1 \over \partial x_3}$ aus der impliziten Funktion

$\begin{displaymath} 2 x_2^2 + \ln ( x_3^2 + x_1^2) - e^{x_2} = 0 \end{displaymath}$

(Lösung)

Aufgabe 77

(a): Bestimmen Sie die Elastizität von
$\begin{displaymath} f(x)= e^{3x} \cdot 3x\end{displaymath}$
(b): Bestimmen Sie die Bereiche in denen elastisch, unelastisch oder 1-elastisch ist.

(Lösung)

Aufgabe 78

Gegeben ist die Matrizengleichung

$\begin{displaymath} (\mathsfbf{A} - \mathsfbf{B}) \mathsfbf{X} = -\mathsfbf{B}\,\mathsfbf{X} +\mathsfbf{C}\end{displaymath}$

(a): Lösen Sie die Gleichung nach $\mathsfbf{X}$ auf.
(b): Welche Beschränkungen müssen für die Zeilenzahl und Spaltenzahl von $\mathsfbf{A}$ , $\mathsfbf{A}^{-1}$ , $\mathsfbf{X}$ gelten damit die Matrizenmultiplikation $\mathsfbf{A} \cdot \mathsfbf{A}^{-1} \cdot \mathsfbf{X}$ durchgeführt werden kann.

(Lösung)

Aufgabe 79

Gegeben seien

$\begin{displaymath} \mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrr} 3&0&6&\\ 1&3&5&\... ...fbf{b}=\left( \begin{array} {r} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right)\end{displaymath}$

(a): Bestimmen Sie den Rang der Matrix $\mathsfbf{A}$ .
(b): Berechnen Sie die Determinante von $\mathsfbf{A}$ .
(c): Ist $\mathsfbf{A}$ invertierbar?
(d): Wieviele Lösungen hat das Gleichungssystem?

(Lösung)

Aufgabe 80

(a): Berechnen Sie die Determinante von
$\begin{displaymath} \mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrr} 2&0&0&0\\ 8&-1&0&0\\ 0&0&3&4\\ 0&0&4&1 \end{array} \right)\end{displaymath}$
(b): Berechnen Sie die Determinante von
$\begin{displaymath} \mathsfbf{B}=\left( \begin{array} {rrrr} 2&0&0&0\\ 0&0&3&4\\ 8&-1&0&0\\ 0&0&4&1 \end{array}\right)\end{displaymath}$
(c): Berechnen Sie die Determinante von
$\begin{displaymath} \mathsfbf{C}=\left( \begin{array} {rrrr} 2&0&0&0\\ 8&-1&0&0\\ 0&0&3&4\\ 2&0&4&1 \end{array}\right) \end{displaymath}$

(Lösung)

Aufgabe 81

(a)

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

$\begin{displaymath} f (x_1, x_2) = 4x^2_1 + x^2_2 - 2x_1 + 4\end{displaymath}$

unter der Nebenbedingung

$\begin{displaymath} x_1 +x_2 = 4\end{displaymath}$

mittels Lagrange-Multiplikatoren.

(b)

Handelt es sich hierbei um einen globalen Extremwert?

(Lösung)

Aufgabe 82

Lösen Sie das Optimierungsproblem
Max /Min $f(x) = 4\vert x+ 1\vert - x^2$
Definitionsbereich D = $\{x\vert - 3 \leq x \leq 3\}$

(Lösung)

Aufgabe 83

$\begin{displaymath} \begin{array} {rcl} \mbox{Min/Max} && 4x_1 + 2x_2\\ [1ex] ... ...\ x_1 &\le& 7 \\ x_2 &\le& 5 \\ x_1,x_2 &\ge& 0 \end{array}\end{displaymath}$

(a): Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus.
(b): Lösen Sie das Problem graphisch (Min, Max).
(c): Zeichnen Sie die neue Lösung (Min, Max) ein, wenn zusätzlich noch die Nebenbedingung eingeführt wird.

(Lösung)

Aufgabe 84

$\begin{displaymath} f(x) = 6 e^{-x_1 + x_2}\end{displaymath}$

Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten der obigen Funktion (konvex, konkav, weder-noch).

(Lösung)

[Miran, `Im Bergwerk I']