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19. Februar 1996

Aufgabe 85

Gegeben ist die Matrixgleichung

$\mathsfbf{A} \cdot \mathsfbf{X} \cdot \mathsfbf{A}^{-1} = \mathsfbf{B}$

(a)

Geben Sie an, welche Beschränkungen es für die Zeilenzahl, Spaltenzahl und Inventierbarkeit von $\mathsfbf{A}$, $\mathsfbf{B}$ und $\mathsfbf{X}$ gibt, so daß die Rechenoperationen in der Gleichung definiert sind und die Gleichung nach $\mathsfbf{X}$ lösbar ist.

(b)

Lösen Sie die Gleichung nach $\mathsfbf{X}$ auf.

(Lösung)

Aufgabe 86

Berechnen Sie mit dem Simplexalorithmus.

Min/Max   $2x + 3y$
NB:     $2x + y \leq 10$
$x+2y \leq 10$
$x,y \ge$ 0

(Lösung)

Aufgabe 87

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

$f(x,y) = \frac{1}{3} (x +2)^3 + (y - 1)^2$

unter den Nebenbedingungen

$$x-y = -1$$

(Lösung)

Aufgabe 88

Bestimmen Sie ${\displaystyle \frac{\partial x_2}{\partial x_4}}$ aus der impliziten Funktion:

$$x^3_3 + x_2 \cdot x_4 + \exp (x^2_1 + x^2_4) = 0$$

(Lösung)

Aufgabe 89

Sei

$$f(x,y) = \exp(-x^2-y^2)$$

(a)

Berechnen Sie die stationären Punkte von $f$.

(b)

Bestimmen Sie mit Hilfe der Hessematrix ob es sich dabei um Maxima, Minima oder Sattelpunkte handelt.

(c)

Ist $f$ in $D = \{(x,y) \vert x^2 + y^2 \le \frac{1}{2}\}$
konvex, konkav oder keines von beiden? (Begründung)

(d)

Was können Sie über die globalen Extremwerte von $f$ in $D$ sagen?

(Lösung)

Aufgabe 90

Sei

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrr} 2&-2&6\\ 2&-1&8\\ 3&-5&5\\ \end{array}\right)$$

(a)

Berechnen Sie $\det(\mathsfbf{A})$.

(b)

Berechnen Sie den Rang von $\mathsfbf{A}$.

(c)

Sind die Zeilenvektoren von $\mathsfbf{A}$ linear unabhängig? (Begründung)

(d)

Ist $\mathsfbf{A}$ inventierbar? (Begründung)

(e)

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem

$$\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$$

mit

$$\mathsfbf{b}=\left( \begin{array} {r} 0\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$$

(f)

Berechnen Sie die inverse Matrix von $\mathsfbf{A}$.

(Lösung)

Aufgabe 91

(a)

Berechnen Sie die Elastizität von

$$f(x) = 4 x^2 + 3 x + 1$$

(b)

In welchen Punkten ist $f$ 1-elastisch.

(c)

In welchem Bereich ist $f$ elastisch.

(Lösung)

Aufgabe 92

(a)

Berechnen Sie das Differential der Funktion

$$f(x) = x^4 + 3 x^2 + 5x - 1$$

an der Stelle $x=0$.

(b)

Berechnen Sie mit Hilfe des Differentials and der Stelle $x=0$ ein Näherungswert für den Funktionswert von $f$ in den Punkten 0,1 und 0,2.

(Lösung)