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1. Oktober 1996

Aufgabe 67

(a)

Berechnen Sie die Determinante der Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrr} 1&0&2&-2\\ 0&3&-1&2\\ 0&0&0&2\\ 2&3&2&-1 \end{array}\right)$$

(b)

Welchen Rang hat die Matrix?

(Lösung)

Aufgabe 68

(a)

Bestimmen Sie die Elastizität von

$$f(x)= x^2e^{-x}$$

(b)

Bestimmen Sie die Bereiche, in denen $f(x)$ elastisch bzw. unelastisch ist.

(Lösung)

Aufgabe 69

(a)

Bestimmen Sie die Inverse zur Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {rrr} 1&1&-1\\ 1&2&1\\ 2&1&1\\ \end{array}\right)$$

(b)

Prüfen sie mittels Multiplikation von $\mathsfbf{A}^{-1}$ mit $\mathsfbf{A}$, ob Sie $\mathsfbf{A}^{-1}$ richtig berechnet haben.

(Lösung)

Aufgabe 70

Gegeben ist die Funktion

$$f(x)=(x+y^2)e^{-x}$$

(a)

Bestimmen Sie die stationären Punkte.

(b)

Stellen Sie mit Hilfe der Hessematrix fest, ob es sich bei den stationären Punkten um Maxima, Minima oder Sattelpunkte handelt.

(Lösung)

Aufgabe 71

Bestimmen Sie die Lösung $x$ des folgenden Gleichungssystems

$$\mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {rrrr} 1&1&1&2\\ 1&0&-1&1... ...}\right), \quad \mathsfbf{A} \cdot \mathsfbf{x} =\mathsfbf{b}$$

(Lösung)

Aufgabe 72

Diskutieren Sie die Funktion

$$f(x)={\displaystyle\frac{x}{(1+x^2)}}$$

Bestimmen Sie Definitionsbereich, Nullstellen, Extremwerte und zeichnen Sie ein Skizze.

(Lösung)

Aufgabe 73

Bestimmen Sie die Extrema der Funktion

$$f(x)=x^2y$$

unter der Nebenbedingung

$$x+y=\frac{1}{2}$$

mit Lagrangemultiplikatoren.

(Lösung)

Aufgabe 74

Bestimmen Sie die Ableitung ${\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}}$ der impliziten Funktion

$$\ln (x^2+y^2)=1$$

(Lösung)

Aufgabe 75

Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem

$$\mbox{max}\quad z= x+y$$

$$\begin{array} {r} x\le 6\\ y \le 8 \\ 2x+y \le 14\\ x+y \le 10\\ x,y \ge 0 \end{array}$$

(a)

Bestimmen Sie die Lösung graphisch.

(b)

Lösen Sie das Problem mit Hilfe des Simplexalgorithmus.

(Lösung)