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20. November 1996

Aufgabe 57

Gegeben sei

$\begin{displaymath} \mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {rrr} 2&-1&4\\ 0&5&-3\\ ... ...b}=\left(\begin{array} {r}8\\ 4\\ 22\\ \end{array}\right) \quad\end{displaymath}$

(a): Bestimmen Sie den Rang der Matrix $\mathsfbf{A}$ .
(b): Wieviele Lösungen besitzt das Gleichungssystem $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$ ?
(c): Berechnen Sie die Determinante von $\mathsfbf{A}$ .
(d): Ist $\mathsfbf{A}$ invertierbar? (Begründung)
(e): Sind die Zeilenvektoren untereinander linear unabhängig?

(Lösung)

Aufgabe 58

Lösen Sie die Matrizengleichung nach $\mathsfbf{X}$ auf

$\begin{displaymath} (\mathsfbf{A}+\mathsfbf{B}) \mathsfbf{X} \cdot \mathsfbf{B}^{-1}=\mathsfbf{C}\end{displaymath}$

(Lösung)

Aufgabe 59

Berechnen Sie $\frac{\partial x_1}{\partial x_2}$ aus der impliziten Funktion

$\begin{displaymath} \ln ~~ (x^2_1 + 2x_1 x_2 +x^2_2) + e^{x_3} + 1 = 0\end{displaymath}$

(Lösung)

Aufgabe 60

(a): Bestimmen Sie die Elastizität von
$\begin{displaymath} f(x)=e^{-4x~+~5}\end{displaymath}$
(b): Bestimmen Sie die Bereiche in denen elastisch, unelastisch bzw. 1-elastisch ist.

(Lösung)

Aufgabe 61

Lösen Sie das Optimierungsproblem

Max/Min $\quad f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 3x^2 + 5x + 10$

im Definitionsbereich

$\begin{displaymath} D =\{x\vert - 6 \le x \le 2\}\end{displaymath}$

(Lösung)

Aufgabe 62

(a): Berechnen Sie die Determinante von
$\begin{displaymath} \mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrrr} 1&7&\hspace*{1,5ex}0&0\\ 4&-2&1&1\\ 0&4&0&0\\ 2&-1&3&-1\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$
(b): Berechnen Sie die Determiante von
$\begin{displaymath} \mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrrr} 2&14&\hspace*{1,5ex}0&0\\ 4&-2&1&1\\ 0&4&0&0\\ 2&-1&3&-1\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$
(c): Berechnen Sie die Determinante von
$\begin{displaymath} \mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrrr} 1&7&\hspace*{1,5ex}0&0\\ 4&-2&1&1\\ 0&4&0&0\\ 4&13&3&-3\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

(Lösung)

Aufgabe 63

(a)

Bestimmen Sie stationären Punkte der Funktion

$\begin{displaymath} f(x_1,x_2) = x^2_1 + x_1x_2 + 2x^2_2 + 3\end{displaymath}$

unter der Nebenbedingung

$\begin{displaymath} x_1 +x_2 = 16\end{displaymath}$

mittels Lagrange-Multiplikatoren.

(b)

Handelt es sich um einen globalen Extremwert?

(Lösung)

Aufgabe 64

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

$\begin{displaymath} f(x_1,x_2,x_3) = e^{x_1^2 + x_2^2 + 2x_1} + e^{x^2_3}\end{displaymath}$

(Lösung)

Aufgabe 65

$\begin{displaymath} \begin{array} {rcl} \mbox{Min/Max} && 3x_1 + x_2\\ [1ex] \... ... x_2 &\le& 10 \\ x_2 &\le& 4 \\ x_1, x_2 &\ge& 0 \end{array}\end{displaymath}$

(a): Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem mit dem Simplexalogorithmus.
(b): Lösen Sie das Problem graphisch (Min,Max).
(c): Zeichnen Sie die neue Lösung (Min, Max) ein, wenn zusätzlich noch die Nebenbedingung eingeführt wird.

(Lösung)

Aufgabe 66

Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems

$\begin{displaymath} 2x_1 + 4x_2 = 9\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} 4x_1 + 8x_2 = 15\end{displaymath}$

(Lösung)

[Miran, `Im Bergwerk I']