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28. Jänner 1997

Aufgabe 49

Berechnen Sie die Ableitung ${\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}}$ der impliziten Funktion

$$e^{x-2y+xy}=1$$

(Lösung)

Aufgabe 50

Bestimmen Sie die Bereiche, in denen die Funktion $f(x)=xe^{-x}$ elastisch, unelastisch bzw. 1-elastisch ist.

(Lösung)

Aufgabe 51

Bestimmen Sie das globale Maximum und Minimum der Funktion

$$f(x)=\frac{\vert x\vert}{x^2-4}$$

auf dem Intervall $[-1,1]$.

(Lösung)

Aufgabe 52

Berechnen Sie die Lösung(en) des linearen Gleichungssystem

$$\begin{array} {rcl} x_1+2x_2+x_4=1\\ 3x_1+x_3+x_4=3\\ x_1+x_4=1\\ -2x_1+2x_2-x_3=0 \end{array}$$

(Lösung)

Aufgabe 53

(a)

Berechnen Sie die Determinante der Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrrr} 1&0&1&4\\ 8&2&1&3\\ 2&1&0&1\\ 0&0&2&2\\ \end{array}\right)$$

(b)

Berechnen Sie die Determinante von

$$\mathsfbf{B}=\left( \begin{array} {rrrrr} 1&2&2&4\\ 8&18&2&3\\ 2&5&0&1\\ 0&0&4&2\\ \end{array}\right)$$

mit Hilfe der Determinate von $\mathsfbf{A}$, indem Sie die Rechenregeln über Zeilen- und Spaltentransformationen anwenden.

(Lösung)

Aufgabe 54

(a)

Bestimmen Sie stationären Punkte der Funktion

$$f(x_1,x_2, x_3)= (x_1+x_2)^2+x_2x_3+e^{x_3}$$

(b)

Untersuchen Sie mit Hilfe der Hessematrix, ob es sich bei diesen Punkten um Maxima oder Minima handelt.

(Lösung)

Aufgabe 55

Lösen Sie das folgende lineare Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus

Max   $z=x_1+x_2+x_3$
$x_1+2x_2\le 4$
$x_2+2x_3\le 4$
$2x_1+x_3\le 4$
$x_1,x_2,x_3\ge 0$

(Lösung)

Aufgabe 56

Lösen Sie das folgende Optimierungsproblem für $f(x,y)$ unter der Nebenbedingung $g(x,y)=0$.

$$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$$

$$g(x,y)=x-2y-1$$

(Lösung)