previous: 22. April 1997 next: 28. Jänner 1997

25. Februar 1997

Aufgabe 39

Bestimmen Sie die partielle Ableitung $\frac{\partial^3 f}{\partial x_2 \partial x_3 \partial x_2}$ der Funktion

$$f(x_1,x_2,x_3) = x_2 \sin(x_1) + x_2^3 x_3$$

(Lösung)

Aufgabe 40

Ein Unternehmen stellt drei Produkte, A, B und C her. Die Stückkosten für die Herstellung sind $17$ (A), $19$ (B) und $22$ (C) Geldeinheiten, die entsprechenden Verkaufspreise $28$ (A), $25$ (B) und $30$ (C) Geldeinheiten. Alle nachfolgenden Angaben beziehen sich auf den Planungshorizont der nächsten sechs Monate. Die am Markt maximal absetzbare Stückzahl des Produkts A in dieser Zeit ist $2000$ Einheiten. Aufgrund einer vertraglichen Verpflichtung müssen $1000$ Einheiten des Produkts B und $1800$ Einheiten des Produkts C gefertigt werden. Ein weitergehender Absatz von B ist nicht möglich, bei C kann über diese Minimalmenge hinaus noch mit einem Absatz von bis zu $4000$ Einheiten am Markt gerechnet werden.

Die drei Produkte durchlaufen zwei Produktionsphasen. Die benötigte Anzahl von Maschinenstunden für die Herstellung einer Einheit jedes der drei Produkte in jeder der beiden Produktionsphasen ist in der nachfolgenden Tabelle dargestellt.

Phase 1 Phase 2

A 0,6 0,7

B 0,8 1,1

C 0,9 0,5

In Produktionsphase 1 stehen maximal $3400$ Maschinenstunden, in Phase 2 $3000$ Maschinenstunden zur Verfügung.

(a)

Geben Sie Zielfunktion und sämtliche Nebenbedingungen des linearen Optimierungproblems an, mit dem der Produktionsplan des Unternehmens (die herzustellende Stückzahl von A,B und C), der den Gewinn maximiert berechnet werden kann.

(b)

Transformieren Sie das lineare Optimierungsproblem in die Standardform.

Hinweis: Die Lösung des Optimierungsproblems mit dem Simplexalgorithmus ist nicht Teil der Aufgabenstellung.

(Lösung)

Aufgabe 41

Bestimmen Sie, falls möglich, die Inverse der Matrix

$$\pmatrix{ 1 & 3 & 5 & 2 \cr 2 & 2 & 3 & 1 \cr 4 & 4 & 6 & 2 \cr 1 & 2 & 3 & 1 \cr }$$

(Lösung)

Aufgabe 42

Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion

$$f(x_1, x_2) = x_1 x_2^2-x_1^4$$

im Punkt $(1,2)$.

(Lösung)

Aufgabe 43

Bestimmen Sie die Lösungen des linearen Gleichungssystems

$$\pmatrix{ {2\over 3} & 0 & 0 & -1 \cr {5\over 3} & 1 & 3 & 5... ...x_1 \cr x_2 \cr x_3 \cr x_4} = \pmatrix{1 \cr 0 \cr 1 \cr -1}$$

(Lösung)

Aufgabe 44

(a)

Bestimmen Sie ein lokales Minimum der Funktion

$$f(x_1,x_2) = x_1^2 + (x_2 -3)^4, \qquad\qquad -\infty < x_1 < \infty, -\infty < x_2 < \infty$$

Zeigen Sie die Minimumseigenschaft mit Hilfe der Hessematrix.

(b)

Hat die Funktion im gesamten Definitionsbereich ein einheitliches Krümmungsverhalten? Untersuchen Sie diese Frage ebenfalls mit der Hessematrix und geben Sie an, ob es sich beim zuvor gefundenen Minimum um ein globales Minimum handelt.

(Lösung)

Aufgabe 45

Bestimmen Sie den Rang der Matrix

$$\pmatrix{ 2 & -5 & -1 & -1 \cr -5 & 26 & 0 & 5 \cr -1 & 0 & 2 & 0 \cr -1 & 5 & 0 & 1 \cr }$$

(Lösung)

Aufgabe 46

Bestimmen Sie die Kofaktorenmatrix zu

$$\pmatrix{1 & 2 & -1 \cr 2 & -1 & 4 \cr 1 & 1 & 1}$$

(Lösung)

Aufgabe 47

Bestimmen Sie $\mathsfbf{X}$ aus der Matrixgleichung

$$\mathsfbf{A} \cdot \mathsfbf{B} \cdot \mathsfbf{X} - \mathsfbf{A} = \mathsfbf{B}$$

Gehen Sie davon aus, daß $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{B}$ quadratische Matrizen gleicher Größe wie $\mathsfbf{X}$ sind.

(Lösung)

Aufgabe 48

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

$$f(x_1,x_2) = x_1^2 + (x_2+2)^2$$

unter der Nebenbedingung $x_1+x_2=1$ mit Hilfe von Lagrangemultiplikatoren.

(Lösung)