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22. April 1997

Aufgabe 30

Bestimmen Sie die Ableitung ${\displaystyle\frac{dx}{dy}}$ der impliziten Funktion

$$xy+x^2-y^2=1$$

(Lösung)

Aufgabe 31

Sei

$$f(x,y)=\frac{1}{2}x^2+2xy+3y^2+x$$

(a)

Berechnen Sie alle stationären Punkte von $f$.

(b)

Bestimmen Sie mit Hilfe der Hessematrix, ob es sich dabei um lokale Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.

(c)

Bestimmen Sie die Krümmung von $f$ (konkav/konvex).

(d)

Gibt es globale Minima und Maxima? Welche?

(Lösung)

Aufgabe 32

Berechnen Sie alle stationären Punkte von

$$f(x,y)=\frac{1}{2}x^2+2xy+3y^2+x$$

unter der Nebenbedingung

$$y-x=1.$$

(Lösung)

Aufgabe 33

Lösen sie die folgende Optimierungsaufgabe. (Gesucht sind alle globalen Extrema.)

Min/Max   $e^{\frac{1}{3}x^3-x}$
$-1\le x\le 3$

(Lösung)

Aufgabe 34

Bestimmen Sie, falls möglich, die Inverse der Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrr} 1&2&0\\ 2&1&2\\ 1&0&1 \end{array}\right)$$

(Lösung)

Aufgabe 35

Sei

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrr} 1&0&2&3\\ 0&3&0&0\\ 9&0&8&7\\ 4&0&5&6 \end{array}\right)$$

(a)

Berechnen Sie $\det(\mathsfbf{A})$.

(b)

Ist $\mathsfbf{A}$ invertierbar?

(c)

Ist $\mathsfbf{A}$ singulär oder regulär?

(d)

Hat $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$ für $\mathsfbf{b}=\left(\begin{array} {c}1\\ 0\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ eine eindeutig bestimmte Lösung?

(Lösung)

Aufgabe 36

Bestimmen Sie $\mathsfbf{X}$ aus der Matrixgleichung

$$\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{X}+\mathsfbf{B}\,\mathsfbf{X} =\mathsfbf{C}\,\mathsfbf{X}+\mathsfbf{I}$$

Gehen Sie davon aus, daß $\mathsfbf{A}$, $\mathsfbf{B}$, $\mathsfbf{C}$ und $\mathsfbf{X}$ quadratische Matrizen gleicher Größe sind.

(Lösung)

Aufgabe 37

Gegeben ist folgendes lineares Optimierungssystem

$$\begin{array} {lr} \mbox{Max} & 2x+y\\ \mbox{NB:} \quad &x\le 10\\ &y\le 2\\ &3x+15y\le 45\\ &x, y \ge 0 \end{array}$$

(a)

Lösen Sie das Optimierungsproblem graphisch.

(b)

Lösen Sie das Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus.

(Lösung)

Aufgabe 38

(a)

Berechnen Sie die Elastizität von $f(x)=e^{\frac{1}{3}x^3-x}.$

(b)

Ist $f$ an der Stelle $x=-2$ elastisch?

(Lösung)