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29. September 1997

 

Aufgabe 10

Berechnen Sie die Lösungen des linearen Gleichungssystems

$$\begin{array} {rcl} 3 x_1 + 2 x_2 + x_3 &=& 8 \\ 2 x_1 + x... ... x_2 + 2x_3 &=& 9 \\ 3 x_1 + x_2 + x_3 &=& 7 \\ \end{array}$$

(Lösung)

Aufgabe 11

Berechnen Sie die Lösung $\mathsfbf{X}$ der Matrixgleichung

$$\mathsfbf{A}^{-1} \cdot \mathsfbf{X} = \mathsfbf{A} - \mathsfbf{X}$$

Gehen Sie davon aus, daß die diversen Matrixoperationen alle definiert (Zeilen- bzw. Spaltenanzahl der Faktormatrizen, Invertierbarkeit) sind.

(Lösung)

Aufgabe 12

Berechnen Sie $$\frac{\partial x}{\partial y}$$ der implizit gegebenen Funktion

$$x^2 + y + e^{x+y} = 1$$

(Lösung)

Aufgabe 13

Berechnen Sie das Ergebnis der Vereinfachung des Matrixausdrucks

$$\pmatrix{1 & 2 \cr 2 & 1 \cr 3 & 3 \cr} \cdot \pmatrix{3 \cr 2 \cr} + \pmatrix{ 1 \cr 3 \cr 2 \cr}$$

(Lösung)

Aufgabe 14

Das folgende lineare Optimierungsproblem hat unendlich viele Maxima:

$$\begin{array} {lr} \mbox{ Max} & 3 x_1 + 2 x_2 \\ \mbox{ N... ...4 \\ & x_1 \le 5 \\ & 3 x_1 + 2 x_2 \le 16 \\ \end{array}$$

Zeigen Sie diese Eigenschaft

(a)

mit Hilfe der graphischen Lösung des Problems,

(b)

mit Hilfe der Lösung durch den Simplexalgorithmus.

Begründen Sie Ihre Lösung in beiden Fällen in Stichworten.

(Lösung)

Aufgabe 15

Die Funktion

$$f(x_1, x_2) = e^{x_1^2 -1} + e^{x_2^2-2} + 3$$

hat in $x_1=0, x_2=0$ ein Minimum. Weisen Sie die Minimumseigenschaft mit der Hessematrix nach.

(Lösung)

Aufgabe 16

Welches Krümmungsverhalten (konkav/konvex, Änderungen der Krümmung) hat die Funktion

$$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + (x_2 - 2)^2 + x_3^4$$

(Lösung)

Aufgabe 17

Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems aus Beispiel 10.

(Lösung)

Aufgabe 18

Bestimmen Sie die Kofaktoren der Matrix

$$\pmatrix{ 1 & 4 \cr 2 & 2 }$$

(Lösung)

Aufgabe 19

Bestimmen Sie das totale Differential der Funktion

$$f(x_1, x_2) = \ln(x_1) + (x_1-x_2)^2$$

(Lösung)

Aufgabe 20

Zeichnen Sie die Höhenlinie für $f(x_1,x_2) = 10$ der Funktion

$$f(x_1, x_2) = x_1 x_2 - 3$$