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27. Jänner 1998

Aufgabe 1

(a)

Bestimmen Sie mit Hilfe des Rangs der Koeffizientenmatrix bzw. erweiterten Koeffizientenmatrix die Anzahl der Lösungen für das Gleichungssystem $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$.

$$\mathsfbf{A} = \left(\begin{array} {rrr} 2&-1&-2\\ 1&3&0\\... ...{b}=\left(\begin{array} {r} 2\\ 8\\ 10\\ \end{array}\right)$$

(b)

Lösen Sie das Gleichungssystem $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$.

(c)

Berechnen Sie die Determinante von $\mathsfbf{A}$.

(d)

Ist $\mathsfbf{A}$ invertierbar? Begründen Sie Ihre Antwort.

(Lösung)

Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Bereiche in denen die Funktion

$$f(x)= e^{(x^2 + 1)}$$

elastisch, 1-elastisch bzw. unelastisch ist.

(Lösung)

Aufgabe 3

Bestimmen Sie die stationären Punkte für

$$\begin{array} {rcl} \min f(x,y) &=& 400 + 5\,x^2 + y^2\\ \mbox{NB: } && 5\,x + y = 12 \end{array}$$

mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren.

(Lösung)

Aufgabe 4

Lösen Sie die Optimierungsaufgabe

$$\mbox{Max/Min} \quad f(x)=4\,\vert x + 2\vert - \frac{4}{3}x^3,$$

wobei $-4 \leq x \leq 4$.

(Lösung)

Aufgabe 5

Lösen Sie die Differentialgleichung

$$f'(x) + 2\, f(x) - 8 = 0$$

mit der Anfangsbedingung   $f(0)=5$.

(Lösung)

Aufgabe 6

(a)

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion:

$$f(x,y) = e^{-x} + e^y + 5\,x -2\,y$$

(b)

Stellen Sie mit Hilfe der Hessematrix fest, ob es sich bei den stationären Punkten um lokale Minima, lokale Maxima oder Sattelpunkte handelt.

(Lösung)

Aufgabe 7

(a)

Lösen Sie graphisch das folgende lineare Optimierungsproblem:

$$\begin{array} {rr} \min/\max & 4\,x_1 + 2\,x_2\\ [1ex] \mb... ...eq 6 \\ & x_1 + x_2 \leq 8 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{array}$$

(b)

Wie ändert sich die Lösung durch das Hinzufügen der weiteren Nebenbedingung:

$$x_1 \geq 10$$

(Lösung)

Aufgabe 8

Berechnen Sie ${\displaystyle \frac{\partial x_1}{\partial x_2}}$ der impliziten Funktion:

$$\ln \, (x_1 + x_2) + x^2_3 = 0$$

(Lösung)

Aufgabe 9

(a)

Berechnen Sie die Determinante der Matrix:

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrr} 1&0&\quad0&\quad0\\ -2&0&4&0\\ 1&3&0&2\\ 2&-1&3&1\\ \end{array}\right)$$

(b)

Berechnen Sie unter zu Hilfenahme der Determinante von $\mathsfbf{A}$ die Determinaten der folgenden zwei Matrizen.

$$\mathsfbf{B}=\left(\begin{array} {rrrr} 0&0&1&\quad0\\ 4&0... ...d0\\ -4&0&8&0\\ 1&3&0&2\\ \ 2&-1&3&1\\ \end{array}\right)$$

(Lösung)