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26. Juni 1997

Aufgabe 21

(a)

Berechnen sie $\frac{df}{dx}$ für $f(x)=e^{ax^2+b}-c$.

(b)

Berechnen sie $\frac{df}{dx}$ für $f(x)=\sin (x)\cdot \ln (x)$.

(c)

Berechnen Sie $\frac{\partial y}{\partial x}$ der impliziten Funktion $y^3-x^2+3xy=1$.

(Lösung)

Aufgabe 22

Sei

$$f(x,y)=4(x+\frac{1}{2}y)^2+3x^2$$

(a)

Berechnen Sie alle stationären Punkte von $f$.

(b)

Bestimmen Sie mit Hilfe der Hessematrix, ob es sich dabei um lokale Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.

(c)

Bestimmen Sie die Krümmung von $f$.

(Lösung)

Aufgabe 23

Lösen sie die folgende Optimierungsaufgabe. (Gesucht sind alle globalen Extrema.)

Min/Max   $e^{x^2+2x-15}$
$-2\le x\le 4$

(Lösung)

Aufgabe 24

(a)

Bestimmen Sie die Inverse der Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrr} 1&1&1\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$

(b)

Überprüfen Sie das Ergebnis durch die Multiplikation $\mathsfbf{A}^{-1}\,\mathsfbf{A}$.

(Lösung)

Aufgabe 25

Sei

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrr} 1&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&1\\ 0&0&2&1 \end{array}\right)$$

(a)

Berechnen Sie $\det(\mathsfbf{A})$.

(b)

Ist $\mathsfbf{A}$ invertierbar?

(c)

Ist $\mathsfbf{A}$ singulär oder regulär?

(d)

Hat $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$ für $\mathsfbf{b}= \left(\begin{array} {c}1\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ eine eindeutig bestimmte Lösung?

(Lösung)

Aufgabe 26

Bestimmen Sie $\mathsfbf{X}$ aus der Matrixgleichung

$$\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{B}\,\mathsfbf{X}-(\mathsfbf{A}+\mathsfbf{D})\mathsfbf{X}=\mathsfbf{E}.$$

Gehen Sie davon aus, daß $\mathsfbf{A}$, $\mathsfbf{B}$, $\mathsfbf{D}$ und $\mathsfbf{E}$ quadratische Matrizen gleicher Größe sind.

(Lösung)

Aufgabe 27

Gegeben ist folgendes lineares Optimierungssystem

$$\begin{array} {lr} \mbox{Max} & x+y\\ \mbox{NB:} \quad &x\... ...\ &y\le 3\\ &\frac{1}{2}x+y\le 5\\ &x, y \ge 0 \end{array}$$

Lösen Sie das Optimierungsproblem graphisch.

(Lösung)

Aufgabe 28

Bringen Sie das lineare Optimierungsproblem

$$\begin{array} {lr} \mbox{Max} & z=4x_1-2x_2+9x_3+x_4\\ \mb... ..._2\ge 4\\ &x_1+x_4\le 3\\ &x_1, x_2, x_3\ge 0\\ \end{array}$$

auf Standardform.

Hinweis: Die Lösung des Optimierungsproblems mit dem Simplexalgorithmus ist nicht Teil der Aufgabenstellung.

(Lösung)

Aufgabe 29

Ein Unternehmen erzeugt zwei Produkte $x_1$, $x_2$ und verkauft diese zu einem Preis $p_1$ bzw. $p_2$. Von Produkt $x_1$ werden $n_1$, von Produkt $x_2$ $n_2$ Stück verkauft. Bei der Produktion fallen Produktionskosten $y_1$ bzw. $y_2$ (pro Stück) an. Stellen Sie den Gewinn $G$ des Unternehmens als mathematische Funktion der oben angeführten Größen dar.

(Lösung)