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28. Juni 1995

Aufgabe 120

Suchen Sie das globale Maximum und Minimum der Funktion

$f(x)=\vert x\cdot \ln x\vert$      $\begin{array} {cr} \mbox{NB:}&x\ge 0,1\\ &x\le 1,2 \end{array}$

(Lösung)

Aufgabe 121

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

(a)

Bestimmen Sie die Elastizität von $f(x)$.

(b)

Wo ist $f(x)$ elastisch, unelastisch bzw. 1-elastisch?

(Lösung)

Aufgabe 122

(a)

Berechnen Sie die Determinate von $\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrr} 1&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&1&2 \end{array}\right)$

(b)

Ist das Gleichungssystem $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$ für $\mathsfbf{b}=\left(\begin{array} {r}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ eindeutig lösbar?

(c)

Berechnen Sie (mit Hilfe des Ergebnisses von (a)) die Determinante von

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrrr} 1&2&1&-1&3\\ 0&... ...2\\ 0&0&1&-1&2\\ 0&0&2&0&1\\ 0&0&1&1&2 \end{array}\right)$$

(d)

Sind die Spaltenvektoren der in (a) angegeben Matrix linear unabhängig?

(Lösung)

Aufgabe 123

Suchen Sie alle stationären Punkte der Funktion

$$f(x,y,z)=xy^2+z$$

unter der Nebenbedingung

$$x+y+z=1$$

mittels Lagrangemultiplikatoren.

(Lösung)

Aufgabe 124

$f(x_1,x_2)=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+3x_1-x_2$

(a)

Bestimmen Sie alle stationären Punkte.

(b)

Stellen Sie mit Hilfe der Hessematrix fest, ob es sich bei den stationären Punkten um Maxima, Minima oder Sattelpunkte handelt.

(c)

Können Sie Aussagen (mit Begründung!) über ein globales Minimum bzw. Maximum machen?

(Lösung)

Aufgabe 125

(a)

$\mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {rrrr} 2&1&2&0\\ 0&3&2&-2\\ -1&0&1&-2\\ 2&... ...ight)\quad \mathsfbf{b}=\left(\begin{array} {r}1\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
Bestimmen Sie die Lösung(en) des Gleichungssystems $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$ .

(b)

Berechnen Sie den Rang von $\mathsfbf{A}$.

(Lösung)

Aufgabe 126

(a)

Invertieren Sie die Matrix $\mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {rr}2&-1\\ 3&2\end{array}\right)$

(b)

Überprüfen Sie, ob Sie $\mathsfbf{A}^{-1}$ richtig berechnet haben.

(Lösung)

Aufgabe 127

$$\mbox{Max}\quad z=x_1+2x_2$$

$$\begin{array} {crcl} \mbox{NB:} & 2\,x_1& \leq & 20\\ &x_1... ...leq & 20\\ &x_2& \leq & 15\\ &x_1, x_2& \geq & 0 \end{array}$$

(a)

Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus.

(b)

Lösen Sie das Problem graphisch. Bezeichnen Sie die Eckpunkte, die den mit dem Simplexalgorithmus erstellten Tableaus entsprechen. ($T_1$ für das Starttableau, $T_2$ für das nächste Tableau u.s.w.)

(Lösung)