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2. Mai 1995

Aufgabe 128

(a)

Invertieren Sie die Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {rrr} -2&1&0\\ 0&1&1\\ -1&2&1 \end{array}\right)$$

(b)

Überprüfen Sie, ob Sie die Matrix $\mathsfbf{A}^{-1}$ richtig berechnet haben?

(c)

Welchen Rang hat $\mathsfbf{A}$?

(Lösung)

Aufgabe 129

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrr} 1&2&0&1\\ 0&3&2&1\\ -1&2&0&1\\ 1&-2&0&1 \end{array}\right)$$

(a)

Berechnen Sie die Determinante von $\mathsfbf{A}$.

(b)

Ist das Gleichungssystem $\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \mathsfbf{b}$ für $\mathsfbf{b}=\left(\begin{array} {r}-1\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ eindeutig lösbar?
Verwenden Sie als Begründung das Resultat von (a).

(Lösung)

Aufgabe 130

$$f(x,y)=x^4-x^2y-1{,}5x^2+y^2$$

(a)

Berechnen Sie alle stationären Punkte von $f(x,y)$.

(b)

Stellen Sie mit Hilfe der Hessematrix fest, ob es sich um lokale Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.

(Lösung)

Aufgabe 131

Bestimmen Sie die Lösung(en) des Gleichungssystems:

$$\left(\begin{array} {rrr}2&-1&3\\ 0&1&2\\ 4&0&10\end{array}\... ...right)= \left(\begin{array} {r}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right)$$

(Lösung)

Aufgabe 132

$\mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {r}1\\ 2\\ -2\\ 3\end{array}\right)\quad \mathsfbf{B}=\left(\begin{array} {rrrr}1&-1&1&1\end{array}\right)$

(a)

Berechnen Sie (wenn möglich) die Matrix $\mathsfbf{C}=\mathsfbf{A}\cdot \mathsfbf{B}$

(b)

Wie groß ist der Rang von $\mathsfbf{A}$?

(Lösung)

Aufgabe 133

$f(x)=x\cdot e^{-x^2}$

(a)

Bestimmen Sie die Elastizität von $f(x)$.

(b)

Bestimmen Sie die Bereiche, in denen $f(x)$ elastisch, unelastisch oder 1-elastisch ist.

(Lösung)

Aufgabe 134

$$f(x)=\left\{\begin{array} {rr}0& x<0\\ x^2& 0\le x<1\\ 1& x\ge 1\end{array}\right.$$

Skizieren Sie $f(x)$ und stellen Sie mit Hilfe der Zeichnung (oder mit anderen Überlegungen) fest, ob die Funktion überall stetig und überall differenzierbar ist. Wenn nicht, geben Sie die Stellen an, an denen die Funktion nicht stetig und/oder nicht differenzierbar ist.

(Lösung)

Aufgabe 135

Suchen Sie die stationären Punkte der Funktion

$$f(x,y)=x^2\cdot y$$

unter der Nebenbedingung

$$y+x=1$$

(Lösung)

Aufgabe 136

Bestimmen Sie Minimum und Maximum des linearen Optimierungsproblems mit der graphischen Methode.
Min/Max   $z=2x_1+x_2$
NB:   $x_1+x_2\ge 5$
$x_2\ge x_1$
$x_2\le 4$

(Lösung)

Aufgabe 137

Eine Firma produziert 2 Produkte $x_1$ und $x_2$.
Eine Tonne von Produkt 1 hat einen Preis von 1000, eine Tonne von Produkt 2 hat einen Preis von 1500 Geldeinheiten.
Maschine A ist 8 Stunden in Betrieb und wird für eine Tonne von Produkt 1 und eine Tonne von Produkt 2 jeweils eine Stunde benötigt.
Maschine B ist täglich 10 Stunden in Betrieb und wird für 1 Tonne von Produkt 1 eine Stunde, für 1 Tonne von Produkt 2 eineinhalb Stunden benötigt.
Eine strategische Enscheidung der Firmenleitung besagt, daß von Produkt 2 höchstens gleich viel wie von Produkt 1 produziert werden darf.
Formulieren Sie das lineare Optimierungsproblem, mit dem der Umsatz maximiert werden kann.

(Lösung)