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25. Jänner 1996

Aufgabe 93

Bestimmen Sie die Hessematrix der Funktion

$$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 x_2+2)^2 + \frac{7x_2}{x_3}$$

(Lösung)

Aufgabe 94

Gegeben ist die Matrix

$$\mathsfbf{A} = \left (\begin {array}{ccc} 11&2&5\\ \noalign{\medskip}6&1&3\\ \noalign{\medskip}-5&-1&-3\end {array}\right )$$

(a)

Bestimmen Sie die Inverse zu $\mathsfbf{A}$.

(b)

Geben Sie an, wie genau ein Element der Matrix verändert werden kann, so daß $\mathsfbf{A}$ nicht mehr invertierbar ist.

(Lösung)

Aufgabe 95

Gegeben ist die Matrixgleichung

$$\mathsfbf{X} \cdot \mathsfbf{A} \cdot \mathsfbf{X}^{-1} = \mathsfbf{C} \cdot (\mathsfbf{X} \cdot \mathsfbf{B})^{-1}$$

(a)

Geben Sie an, welche Beschränkungen es für die Zeilenanzahl, Spaltenanzahl und Invertierbarkeit von $\mathsfbf{A}$, $\mathsfbf{B}$, $\mathsfbf{C}$ und $\mathsfbf{X}$ gibt, so daß die Rechenoperationen in der Gleichung definiert sind und die Gleichung nach $\mathsfbf{X}$ lösbar ist.

(b)

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung nach $\mathsfbf{X}$.

(Lösung)

Aufgabe 96

1.

Bestimmen Sie den/die stationären Punkt(e) von

$$f(x,y) = (x-1)^2+(y^2+4)^2$$

2.

Stellen Sie mit Hilfe der Hessematrix fest, ob es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.

3.

Stellen Sie fest, ob eventuelle Optima global sind.

(Lösung)

Aufgabe 97

Bestimmen Sie ${\partial x_3 \over \partial x_1}$ aus der impliziten Funktion

$$\ln (x_{{1}}x_{{3}}-x_{{2}}x_{{4}})+{e}^{x_{{2}}x_{{4}}} = 0$$

(Lösung)

Aufgabe 98

Berechnen Sie $\mathsfbf{x}$ aus $\mathsfbf{A} \cdot \mathsfbf{x} = \mathsfbf{c}$ mit

$$\mathsfbf{A}=\left (\begin {array}{ccc}-3&-1&-1\\ \noalign{\... ...lign{\medskip}x_2\\ \noalign{\medskip}x_3\end {array}\right )$$

(Lösung)

Aufgabe 99

Bestimmen Sie die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in der Vektorenmenge

$$\left (\begin {array}{c} 5 \\ \noalign{\medskip}-1 \\ \noali... ...align{\medskip} 8 \\ \noalign{\medskip} 7 \end{array}\right )$$

(Lösung)

Aufgabe 100

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

$$f(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{3}(x_1-3)^3 +x_2x_3$$

unter den Nebendingungen

$$x_1+x_2 = 4 \qquad x_1+x_3 = 5$$

mit Langrangemultiplikatoren.

(Lösung)

Aufgabe 101

Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem

$$\begin{array} {rcl} \mbox{Max} && x+3y \\ x+y &\le&10\\ x+2y&\le&12\\ y &\le&5\\ x&\ge&0\\ y&\ge&0\\ \end{array}$$

graphisch. Geben Sie die Koordinaten des optimalen Punkts und den Wert der Zielfunktion im Optimum an.

(Lösung)

Aufgabe 102

Lösen Sie das Optimierungsproblem aus dem vorangegangenen Beispiel mit Hilfe des Simplexalgorithmus.

(Lösung)