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Was ist der Differentialquotient?  

Ein Auto fährt auf der A1 von Wien nach Salzburg. Wir können diese Fahrt durch eine Funktion $x\mapsto f(x)$beschreiben, die zu jedem Zeitpunkt $x$ (Stunden) die Entfernung $f(x)$ (Kilometer) von Wien angibt.

Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs zwischen zwei Zeitpunkten $x_0$ und $x_0+\Delta x$?

LöSUNG:

$$\frac{\textsl{\small gefahrene Strecke}}{\textsl{\small benötigte Zeit}}$$

oder

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$}}$

Dieser Ausdruck heißt  Differenzenquotient.

Graphische Bedeutung des Differenzenquotienten:

Wie groß ist die momentane Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt $x_0$?

LöSUNG:

Wir können die mittlere Geschwindigkeit des Autos zwischen den Zeitpunkten $x_0$ und $x_0+h$ für ein möglichst kleines $h$ berechnen. Je kleiner dieses $h$ ist desto eher wird der Differenzenquotient mit der Momentangeschwindigkeit übereinstimmen.

 

DEFINITION (DIFFERENTIALQUOTIENT)
Falls der Limes

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle f'(x_0) = \left.\frac{df}{dx}\right\vert_{x=x_0} =\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$}}$

existiert, so heißt die Funktion $f$  differenzierbar an der Stelle $x_0$ und dieser Grenzwert  Differentialquotient oder (erste) Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$.

Eine Funktion $f$ heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs differenzierbar ist.