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Rationale Funktionen  

(Graph)

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle D\to{\mathbb R},\quad x\mapsto\frac{p(x)}{q(x)}$}}$

wobei $p(x)$ und $q(x)$ Polynome sind und
$D={\mathbb R}\setminus\{\mbox{Nullstellen von $q$}\}$.

Einschub:

Rechenregeln für Brüche und Bruchterme.

Seien $b,c,e\not= 0$

Regel Bezeichnung

$$\frac{c\cdot a}{c\cdot b} = \frac{a}{b}$$ Kürzen

$$\frac{a}{b} = \frac{c\cdot a}{c\cdot b}$$ Erweitern

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$ Multiplizieren

$$\frac{a}{b}:\frac{d}{c} = \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$$ Dividieren

$$\frac{a}{b}+\frac{d}{b} = \frac{a+d}{b}$$

$$\frac{a}{b}+{d\over c} = \frac{a\cdot c + d\cdot b}{b\cdot c}$$ Addieren

$$\frac{\rule{1ex}{0ex}\frac{a}{b}\rule{1ex}{0ex}}{\frac{e}{c}} = \frac{a\cdot c}{b\cdot e}$$ Doppelbruch Auflösen

(Bei der Addition zuerst auf gemeinsamen Nenner bringen!)

BEISPIEL RICHTIG
$$\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1$$

$$\frac{4\,x^3+2\,x^2}{2\,x\,y} = \frac{2\,x^2(2\,x+1)}{2\,x\,y} = \frac{x(2\,x+1)}{y}$$

$$\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$$

$$= \frac{x^2+2\,x+1+x^2-2\,x+1}{(x-1)(x+1)} =\frac{2(x^2+1)}{x^2-1}$$

ACHTUNG!

$$\frac{a+c}{b+c}\, \frac{a}{b}$$ ist nicht gleich

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\, \frac{x+y}{a+b}$$ ist nicht gleich

$$\frac{a}{b+c}\, \frac{a}{b}+\frac{a}{c}\qquad$$ ist nicht gleich

BEISPIEL FALSCH
$$\frac{x+2}{y+2}\not=\frac{x}{y} \qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\not=\frac{1}{5}$$.


$$\frac{1}{x^2+y^2}\not=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$$