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14. November 1995

Aufgabe 103

1.

Invertieren Sie die Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left(\begin{array} {rrr} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 3&2&1 \end{array}\right)$$

2.

Überprüfen Sie durch die Multiplikation von $\mathsfbf{A} \cdot \mathsfbf{A}^{-1}$ oder $\mathsfbf{A}^{-1} \cdot \mathsfbf{A}$, ob die Inverse richtig berechnet wurde.

(Lösung)

Aufgabe 104

1.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix

$$\mathsfbf{A}=\left( \begin{array} {rrrrr} 3&0&0&0&1\\ 5&1... ...&1\\ -2&8&2&4&-3\\ 0&0&0&0&5\\ 1&7&3&3&4 \end{array}\right)$$

2.

Es sei $\mathsfbf{B}$ eine $(5\times 5)$-Matrix mit $\det(\mathsfbf{B})=2$.
Berechnen Sie die $\det(\mathsfbf{B}^{-1})$ und die $\det(\mathsfbf{A}\cdot \mathsfbf{B})$.

(Lösung)

Aufgabe 105

1.

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

$$f(x_1,x_2,x_3)=e^{-x_1}(x_2^2+3x_3^2)+x_1^2.$$

2.

Stellen Sie mit Hilfe der Hessematrix fest, ob es sich bei den stationären Punkten um Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.

(Lösung)

Aufgabe 106

Bestimmen Sie die Lösung(en) der Gleichungssysteme

1.

$\left(\begin{array} {rrr}3&1&1\\ 0&2&2\\ 6&2&2\end{array}\right)\cdot \left(\b... ...\\ x_3\end{array}\right) =\left(\begin{array} {r}-1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

2.

$\left(\begin{array} {rr}2&1\\ -4&-2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {r}x_1\\ x_2\end{array}\right) =\left(\begin{array} {r}1\\ 3\end{array}\right)$

(Lösung)

Aufgabe 107

(a)

Bestimmen Sie die Elastizität von $f(x)=e^{-2x}x^2$

(b)

Wo ist $f(x)$ elastisch, unelastisch bzw. 1-elastisch ?

(Lösung)

Aufgabe 108

$$\begin{array} {rcl} \max\quad z=x_1+x_2&&\\ [1ex] \mbox{NB... ... 2x_1-x_2&\le& 3\\ x_2&\le& 1\\ x_1, x_2 &\ge& 0 \end{array}$$

(a)

Lösen Sie das lieare Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus.

(b)

Lösen Sie das Problem graphisch. (Minimum und Maximum sollen eingezeichnet werden)

(c)

Wie ändert sich die Lösung, wenn die Zusatzbedingung $x_1\ge 2$ eingeführt wird. (Minimum und Maximum sollen eingezeichnet werden.)

(Lösung)

Aufgabe 109

(a)

Bestimmen Sie die Lagrangefunktion für $f(x, y)=xy+4x^2+y^2$unter der Nebenbedingung: $x+y=12$ und berechnen Sie alle stationären Punkte.

(b)

Stellen Sie fest, ob es sich bei den stationären Punkten um lokale Maxima, Minima oder Sattelpunkte handelt.

(Lösung)

Aufgabe 110

(a)

Berechnen Sie ${\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}}$in der impliziten Funktion

$$yx^2+3z-4yz^2=0$$

(x, y, z sind die Variablen)

(b)

Überprüfen Sie das Ergebnis durch Umformung auf die explizite Funktion $y=.....$ und Bildung der partiellen Ableitung $(y_x)$.

(Lösung)