Vorwort ..... i
Grundlagen ..... 1
1 Logik ..... 1
1.1 Aussagen und Aussageverknüpfungen ..... 1
2 Mengen und Abbildungen ..... 5
2.1 Was sind Mengen? ..... 5
2.2 Mengenverknüpfungen ..... 7
2.3 Was ist eine Abbildung? ..... 10
2.3.1 Spezielle Abbildungen ..... 12
2.3.2 Die inverse Abbildung ..... 12
Lineare Algebra ..... 15
3 Lineare Gleichungssysteme ..... 15
3.1 Ein einfaches Leontief-Modell ..... 15
3.2 Was ist ein lineares Gleichungssystem? ..... 16
3.3 Das Gaußsche Eliminationsverfahren ..... 17
4 Matrizen und Vektoren ..... 22
4.1 Was ist eine Matrix? ..... 22
4.1.1 Spezielle Matrizen ..... 23
4.2 Rechenoperationen mit Matrizen ..... 24
4.2.1 Gleichheit zweier Matrizen ..... 24
4.2.2 Skalarmultiplikation ..... 25
4.2.3 Addition zweier Matrizen ..... 25
4.2.4 Multiplikation zweier Matrizen ..... 25
4.2.5 Potenzen einer Matrix ..... 27
4.3 Was ist ein Vektor? ..... 27
4.3.1 Eine geometrische Interpretation ..... 28
4.3.2 Punkte und Ortsvektoren ..... 29
4.3.3 Norm und inneres Produkt ..... 29
4.4 Matrixdarstellung ..... 31
4.5 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix ..... 32
4.5.1 Was heißt linear unabhängig? ..... 32
4.5.2 Der Rang einer Matrix ..... 35
4.5.3 Koeffizientenmatrix und erweitere Koeffizientenmatrix ..... 36
4.6 Die inverse Matrix ..... 37
4.6.1 Was ist die inverse Matrix? ..... 37
4.6.2 Wann existiert die inverse Matrix? ..... 38
4.6.3 Berechnung der inversen Matrix ..... 38
4.7 Matrixgleichungen ..... 40
4.7.1 Rechengesetze für Matrizen ..... 40
4.7.2 Gleichungen mit Matrizen ..... 41
5 Vektorräume ..... 45
5.1 Was ist ein Vektorraum? ..... 45
5.2 Basis, Dimension und Basiswechsel ..... 47
5.2.1 Basiswechsel ..... 49
5.2.2 Versuch einer Motivation ..... 51
5.3 Lineare Abbildungen ..... 51
5.3.1 Matrizen und lineare Abbildungen ..... 51
5.3.2 Lineare Abbildung und Rang einer Matrix ..... 52
5.3.3 Rechenregeln für Matrizen aus der Sicht linearer Abbildungen ..... 53
5.3.4 Ähnliche Matrizen ..... 54
5.3.5 Ein Beispiel ..... 55
6 Determinanten ..... 57
6.1 Was ist eine Determinante? ..... 57
6.1.1 Die Idee ..... 57
6.1.2 Die Ausführung ..... 58
6.2 Eigenschaften der Determinante ..... 59
6.3 Die Berechnung der Determinante ..... 61
6.3.1 (2x2)-Matrizen ..... 61
6.3.2 Die Regel von Sarrus ..... 62
6.3.3 Der Laplace'sche Entwicklungssatz ..... 62
6.3.4 Umformen in Dreiecksmatrix ..... 63
6.4 Determinante und Inverse ..... 63
6.4.1 Die inverse Matrix ..... 63
6.4.2 Die Cramersche Regel ..... 65
7 Eigenwerte und Eigenvektoren ..... 67
7.1 Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? ..... 67
7.2 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren ..... 68
7.2.1 Die Eigenwerte ..... 68
7.2.2 Die Eigenvektoren ..... 69
7.3 Eine geometrische Interpretation ..... 71
7.4 Diagonalisieren ..... 71
7.4.1 Eigenwerte und ähnliche Matrizen ..... 71
7.4.2 Diagonalisieren von symmetrischen Matrizen ..... 72
7.5 Einige Eigenschaften von Eigenwerten ..... 74
7.6 Quadratische Formen ..... 74
Analysis ..... 80
8 Reihen und ihre Folgen ..... 80
8.1 Was sind Folgen und Reihen? ..... 80
8.1.1 Folgen ..... 80
8.1.2 Reihen ..... 82
8.2 Grenzwerte und ihre Berechnung ..... 82
8.3 Arithmetische und geometrische Folgen ..... 84
8.4 Zinsen, Renten und Kredite ..... 85
8.4.1 Zinsenrechnung ..... 85
8.4.2 Rentenrechnung (nachschüssig) ..... 87
8.4.3 Tilgungsrechnung ..... 88
9 Funktionen ..... 92
9.1 Reelle Funktionen ..... 92
9.1.1 Elementare Funktionen ..... 92
9.2 Wie zeichne ich einen Graphen? ..... 95
9.3 Ist f injektiv und surjektiv? ..... 98
9.4 Die inverse Funktion ..... 99
9.5 Limiten ..... 101
9.6 Stetigkeit ..... 103
10 Differentialquotient und Ableitung ..... 108
10.1 Was ist der Differentialquotient? ..... 108
10.1.1 Eine graphische Interpretation ..... 110
10.1.2 Änderungsrate und Grenzfunktion ..... 110
10.1.3 Wann existiert der Differentialquotient? ..... 112
10.1.4 Die Berechnung des Differentialquotienten ..... 113
10.2 Die Ableitungen einer Funktion ..... 113
10.2.1 Differentiationsregeln ..... 114
10.2.2 Höhere Ableitungen ..... 115
10.3 Monotonie und Krümmungsverhalten ..... 116
10.3.1 Die Monotonie ..... 116
10.3.2 Die Krümmung ..... 117
10.4 Lokale und globale Extremwerte ..... 118
10.4.1 Berechnung der lokalen Extrema ..... 119
10.4.2 Berechnung der globalen Extrema ..... 121
10.5 Das Differential ..... 123
10.6 Die Elastizität ..... 124
10.7 Die Regel von de l'Hôspital ..... 127
11 Taylorreihen ..... 132
11.1 Was sind Taylorreihen? ..... 132
11.2 Taylorreihen als Funktionen ..... 138
11.3 Taylorreihen und stationäre Punkte ..... 138
12 Stammfunktion und Integral ..... 142
12.1 Was ist eine Stammfunktion? ..... 142
12.1.1 Integrationsverfahren ..... 143
12.2 Was ist ein Integral? ..... 145
12.2.1 Integrationsverfahren ..... 147
12.2.2 Einige Eigenschaften von Integralen ..... 147
12.2.3 Das uneigentliche Integral ..... 148
13 Funktionen in mehreren Variablen ..... 151
13.1 Was sind Funktionen in mehreren Variablen? ..... 151
13.2 Die Ableitung ..... 153
13.2.1 Partielle Ableitungen ..... 153
13.2.2 Der Gradient ..... 154
13.2.3 Die Richtungsableitung ..... 155
13.2.4 Höhere partielle Ableitungen ..... 156
13.3 Das totale Differential ..... 157
13.4 Partielle Elastizitäten ..... 158
13.4.1 Die Kreuzpreiselastizität ..... 158
13.5 Implizite Funktionen ..... 159
13.6 Taylorreihen ..... 161
Optimierung ..... 164
14 Extrema ..... 164
14.1 Krümmungsverhalten ..... 164
14.1.1 Konvexe Mengen ..... 164
14.1.2 Konvexe und Konkave Funktionen -- Die Hesse-Matrix ..... 165
14.2 Lokale Extrema ..... 168
14.2.1 Stationäre Punkte ..... 168
14.2.2 Die Hesse-Matrix ..... 169
14.3 Globale Extrema ..... 172
15 Lagrange-Multiplikatoren ..... 175
15.1 Eine graphische Methode ..... 175
15.2 Stationäre Punkte -- Die Lagrange-Funktion ..... 176
15.2.1 Eine Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren ..... 179
15.3 Die geränderte Hesse-Matrix ..... 179
16 Lineare Optimierung ..... 181
16.1 Was ist lineare Optimierung? ..... 181
16.1.1 Ein Beispiel ..... 181
16.1.2 Das lineare Optimierungsproblem ..... 183
16.2 Ein graphisches Verfahren ..... 183
16.2.1 Der zulässige Bereich ..... 184
16.2.2 Die Isoniveaulinie ..... 184
16.2.3 Parallelverschieben ..... 185
16.2.4 Die Lösung ..... 186
16.2.5 Lösbarkeit eines linearen Optimierungsproblems ..... 186
16.2.6 Bemerkung über die graphische Methode ..... 188
16.3 Der Simplex-Algorithmus -- Die Idee ..... 188
16.3.1 Schlupfvariable ..... 188
16.3.2 Basislösungen ..... 189
16.3.3 Der Algorithmus ..... 190
16.3.4 Das Simplextableau ..... 190
16.3.5 Umformen des Tableaus -- Pivotschritte ..... 191
16.3.6 Auswahl der Pivotspalte ..... 193
16.3.7 Optimale Basislösung ..... 193
16.3.8 Auswahl der Pivotzeile ..... 193
16.3.9 Anmerkung ..... 194
16.4 Der Standard-Simplex-Algorithmus ..... 194
16.4.1 Aufstellen des Anfangs-Simplex-Tableaus -- Die Standardform ..... 194
16.4.2 Das Standard-Maximierungsproblem ..... 197
16.4.3 Das Standard-Minimierungsproblem ..... 199
16.5 Der Zwei-Phasen-Simplexalgorithmus ..... 200
16.5.1 1. Phase: Die Suche nach einem Startpunkt ..... 201
16.5.2 2. Phase: Berechnen des Optimums ..... 203
16.5.3 Zusammenfassung ..... 204
16.6 Spezialfälle ..... 204
16.6.1 Unendlich viele Lösungen ..... 206
16.6.2 Degenerierte Basislösung ..... 207
16.6.3 Unbeschränkter zulässiger Bereich ..... 208
16.6.4 Zulässiger Bereich leer ..... 208
17 Die Kuhn-Tucker Bedingung ..... 213
17.1 Eine graphische Methode ..... 213
17.2 Die Kuhn-Tucker Bedingung ..... 214
17.3 Der Satz von Kuhn-Tucker ..... 218
Dynamische Analyse ..... 220
18 Differentialgleichungen ..... 220
18.1 Was ist eine Differentialgleichung? ..... 220
18.1.1 Ein einfaches Modell ..... 221
18.1.2 Die Lösung des Modells ..... 222
18.2 Differentialgleichungen erster Ordnung ..... 223
18.2.1 y'(x) = f(x) ..... 223
18.2.2 y'(x) = f(x) . g(y) -- Methode der Trennung der Variablen ..... 223
18.2.3 Homogene lineare DG erster Ordnung: y'(x)+a(x) y(x)=0 ..... 224
18.2.4 Inhomogene lineare DG erster Ordnung: y'(x)+a(x) y(x)=s(x) ..... 224
18.2.5 Logistische DG: y'(x) - k y(x)(L-y(x)) = 0 ..... 227
18.3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung ..... 230
18.3.1 Homogene lineare DG zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: y''(x) + a1 y'(x) + a2 y(x) = 0 ..... 230
18.3.2 Inhomogene lineare DG zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: y''(x) + a1 y'(x) + a2 y(x) = s ..... 234
19 Differenzengleichungen ..... 237
19.1 Was ist eine Differenzengleichung? ..... 237
19.2 Differenzengleichungen erster Ordnung ..... 238
19.2.1 Iteration ..... 238
19.2.2 Homogene lineare Differenzengleichungen yt+1+a yt = 0 ..... 239
19.2.3 Inhomogene lineare Differenzengleichungen yt+1+a yt = s ..... 239
19.2.4 Ein Cobweb-Model ..... 242
19.3 Differenzengleichungen zweiter Ordnung ..... 243
19.3.1 Homogene lineare Differenzengleichungen yt+2+a1 yt+1+a2 yt = 0 ..... 243
19.3.2 Inhomogene lineare Differenzengleichungen yt+2+a1 yt+1+a2 yt = s ..... 245
Appendizes ..... 248
A Terme, Gleichungen und Ungleichungen ..... 248
A.1 Zahlen ..... 248
A.2 Terme ..... 250
A.2.1 Das Summensymbol ..... 250
A.2.2 Absolutbetrag ..... 251
A.2.3 Potenzen und Wurzeln ..... 251
A.2.4 Polynome ..... 253
A.2.5 Lineare Terme ..... 257
A.2.6 Rationale Ausdrücke ..... 258
A.2.7 Exponent und Logarithmus ..... 259
A.2.8 Sinus und Cosinus ..... 260
A.3 Gleichungen ..... 262
A.3.1 Lineare Gleichungen ..... 264
A.3.2 Betragsgleichungen ..... 264
A.3.3 Gleichungen mit Exponenten und Logarithmus ..... 265
A.3.4 Potenzgleichungen ..... 265
A.3.5 Wurzelgleichungen ..... 266
A.3.6 Quadratische Gleichungen ..... 266
A.3.7 Nullstellen von Polynomen ..... 267
A.3.8 Nullstellen eines Produkts ..... 267
A.3.9 Das Newtonverfahren ..... 268
A.3.10 Gleichungssysteme in mehreren Variablen ..... 268
A.4 Ungleichungen ..... 270
A.4.1 Polynom- und andere Ungleichungen ..... 271
A.4.2 Betragsungleichungen ..... 272
B Komplexe Zahlen ..... 275
Lösungen ..... 281
Kleines Wörterbuch ..... 301
Register zum kleinen Wörterbuch ..... 311
Bücherliste ..... 315
Symbolverzeichnis ..... 321
Index ..... 325