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Folgen



In einem Sparbuch sind alle Buchungsposten (Gutschriften, Belastungen, usw.) für ein bestimmtes Sparkonto, aufgelistet -- geordnet nach dem Buchungstag. Die Buchungsbeträge in den einzelnen Zeilen bilden somit eine ,,geordnete Menge`` von (reellen) Zahlen.



DEFINITION (FOLGE)
Eine   Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen  Glieder der Folge.


Formaler ausgedrückt:
Eine Folge ist eine Abbildung von ${\mathbb N}$ in ${\mathbb R}$:

\begin{displaymath}
f\colon{\mathbb N}\to{\mathbb R}, i\mapsto a_i
 \end{displaymath}

Folgen werden mit $\bigl<a_i\bigr\gt _{i=1}^n$oder kurz $\bigl<a_i\bigr\gt$ bezeichnet.

(Es sind auch runde Klammern üblich: $(a_i)$.)



Folgen können definiert werden

BEISPIEL
Aufzählung: $\bigl<a_i\bigr\gt=\bigl<1,3,5,7,9,\ldots\bigr\gt$
Bildungsgesetz: $\bigl<a_i\bigr\gt=\bigl<2\,i-1\bigr\gt$
Rekursion: $\bigl<a_i\bigr\gt$, $a_1=1$, $a_{i+1}=a_i+2$



Charakterisierungen von Folgen $\bigl<a_i\bigr\gt$:

BEZEICHNUNG DEFINITION
monoton steigend $a_{i+1}\geq{}a_i$
monoton fallend $a_{i+1}\leq{}a_i$
alternierend $a_{i+1}\cdot a_i < 0 $,
  d.h. das Vorzeichen wechselt.
beschränkt $\vert a_i\vert\leq{}M$, für ein $M\in{\mathbb R}$.



BEISPIEL

$\bigl<1,2,3,4,5,\ldots\bigr\gt$ ist monoton steigend

$\bigl<1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\bigr\gt$ ist monoton fallend

$\bigl<1,-2,3,-4,5,\ldots\bigr\gt$ ist alternierend

$\bigl<0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16}\ldots\bigr\gt$ ist beschränkt (durch $M=1$)


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung