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Abbildungen  

Der Begriff der Abbildung oder  Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe in der Mathematik. Dabei wird jedem Element einer Definitionsmenge ein Merkmal (ein Element aus der Menge der zulässigen Merkmale, der sogenannten Wertemenge) eindeutig zugeordnet.

 

DEFINITION (ABBILDUNG)
Eine  Abbildung $f$ ist definiert durch

(i)

eine  Definitionsmenge (Definitionsbereich) $D$,

(ii)

eine  Wertemenge (Wertebereich) $W$ und

(iii)

eine  Zuordnungsvorschrift, die jedem Element von $D$ genau ein Element von $W$ zuordnet.

Wir schreiben dafür

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle f\colon D\to W,\quad x\mapsto y=f(x)$}}$

$x$ ist das  Argument (die unabhängige Variable) von $f$, der Ausdruck $f(x)$ der  Funktionsterm der Abbildung $f$.

$y$ heißt das  Bild (der  Funktionswert) von $x$,
$x$ das   Urbild von $y$.

BEISPIEL

$D=\{\mbox{Menschen}\}$, $W=\{\mbox{Geburtstage}\}$,

$f\colon\mbox{Mensch}\mapsto\mbox{Geburtstag}$

,,Jedem Menschen wird sein Geburtstag zugeordnet`` ist eine Abbildung.

BEISPIEL

$D=\{\mbox{Menschen}\}$, $W=\{\mbox{Staatsbürgerschaften}\}$,

$f\colon\mbox{Mensch}\mapsto\mbox{Staatsbürgerschaft(en)}$

,,Jedem Menschen wird seine Staatsbürgerschaft zugeordnet`` ist keine Abbildung, da die Zuordnung nicht immer eindeutig (Doppelstaatsbürgerschaft) oder möglich (Staatenlose) ist.

Jedes Argument besitzt immer genau ein Bild. Die Anzahl der Urbilder eines Elementes $y\in W$ kann jedoch beliebig sein. Wir können daher Funktionen nach der Anzahl der Urbilder einteilen.

 

DEFINITION (INJEKTIV)

• Eine Abbildung $f$ heißt  injektiv, wenn jedes Element aus der Wertemenge höchstens ein Urbild besitzt.
• Sie heißt  surjektiv, wenn jedes Element aus der Wertemenge mindestens ein Urbild besitzt.
• Sie heißt   bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Die  Einheitsfunktion oder identische Funktion: bildet das Argument auf sich selbst ab, d.h.

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathrm{id}\colon D\to D,\, x\mapsto\mathrm{id}(x)=x$}}$

Ist eine Abbildung $f\colon D_f\to W_f$bijektiv, so können wir jedem $y\in W_f$ sein Urbild $x\in D_f$ (d.h. $f(x)=y$) zuordnen. Wir erhalten dadurch wieder eine Abbildung $f^{-1}$mit der Definitionsmenge $W_f$und der Wertemenge $D_f$:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle f^{-1}\colon W_f\to D_f,\,y\mapsto{}x=f^{-1}(y)$}}$

Diese Abbildung heißt   Umkehrfunktion oder  inverse Abbildung. Sie hat die Eigenschaft, daß für alle Elemente $x\in D_f$ und $y\in W_f$ gilt:

$$f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x \,\,\,\mbox{ und }\,\,\, f(f^{-1}(y))=f(x)=y$$