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Eigenschaften der Determinante  



Wir fassen die Vektoren $\mathsfbf{a}_1, \mathsfbf{a}_2, \ldots, \mathsfbf{a}_n$als Spaltenvektoren einer $(n\!\times\!n)$-Matrix $\mathsfbf{A}=(\mathsfbf{a}_1, \mathsfbf{a}_2, \ldots, \mathsfbf{a}_n)$ auf.

DEFINITION (DETERMINANTE)
Die  Determinante ist eine Funktion, die jeder $(n\!\times\!n)$-Matrix $\mathsfbf{A}$ eine reelle Zahl $\det(\mathsfbf{A})$ zuordnet und die folgenden Eigenschaften besitzt:

(1)
die Determinante ist  linear in jeder Spalte

(a) $\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i + \mathsfbf{b}_i,
 \ldots)$ $=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i, \ldots) +
 \det(\ldots, \mathsfbf{b}_i, \ldots)$

(b) $\det(\ldots, \alpha\,\mathsfbf{a}_i, \ldots) =
 \alpha\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i, \ldots)$


(2)
die Determinante ist Null, falls zwei Spaltenvektoren gleich sind

$\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots,
 \mathsfbf{a}_i,\ldots) = 0$


(3)
die Determinante ist  normiert

$\det(\mathsfbf{I}) = 1$



Andere Schreibweise:

\begin{displaymath}
\det(\mathsfbf{A}) = \vert\mathsfbf{A}\vert\end{displaymath}



Die Eigenschaften (1) - (3) definieren eindeutig eine Funktion. Diese Funktion besitzt noch eine Reihe weiterer Eigenschaften, die sich aus diesen drei Grundeigenschaften herleiten lassen.




(1)
(2)
(3)
(4)
die Determinante ist alternierend

$\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots) =
 - \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots)$




(5)
die Determinante ist Null, falls ein Spaltenvektor der Nullvektor ist

$\det(\ldots, \mathsfbf{o}, \ldots) = 0$




(6)
der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn zu einer Spalte das Vielfache einer anderen Spalte addiert wird

$\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i +
 \alpha\,\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$ $=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$



(7)
die Spaltenvektoren von $\mathsfbf{A}$ sind genau dann linear abhängig, falls $\det(\mathsfbf{A})=0$




(8)
die Matrix $\mathsfbf{A}$ ist genau dann invertierbar, falls
$\det(\mathsfbf{A})\not=0$




(9)
die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente

$\det\pmatrix{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \cr
 0 & a_{22} & a_{2...
 ...& \ldots & a_{3n} \cr
 \vdots & & & \ddots & \cr
 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{nn} }$ $= a_{11}\cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdots a_{nn}$



(10)
beim Transponieren ändert sich der Wert der Determinante nicht, d.h. die Aussagen über Spalten gelten analog für Zeilen

$\det(\mathsfbf{A}^t)=\det(\mathsfbf{A})$




(11)
die Determinante des Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten

$\det(\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}) =
 \det(\mathsfbf{A})\cdot\det(\mathsfbf{B})$




(12)
die Determinante der inversen Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinante

$\displaystyle\det(\mathsfbf{A}^{-1})=(\det(\mathsfbf{A}))^{-1}=\frac{1}{\det(\mathsfbf{A})}$




BEISPIEL
ad (1a)
$
 \left\vert 
 \begin{array}
{ccc}
 1 & 2+10 & 3 \\  4 & 5+11 & 6 \\  7 & 8+12 ...
 ...}
{ccc}
 1 & 10 & 3 \\  4 & 11 & 6 \\  7 & 12 & 9 \\  \end{array} \right\vert
 $

ad (1b)
$
 \left\vert 
 \begin{array}
{ccc}
 1 & 3\cdot 2 & 3 \\  4 & 3\cdot 5 & 6 \\  7...
 ...ray}
{ccc}
 1 & 2 & 3 \\  4 & 5 & 6 \\  7 & 8 & 9 \\  \end{array} \right\vert
 $


ad (2)
$
 \left\vert 
 \begin{array}
{ccc}
 1 & 2 & 1 \\  4 & 5 & 4 \\  7 & 8 & 7 \\  \end{array} \right\vert
 = 0$


ad (4)
$
 \left\vert 
 \begin{array}
{ccc}
 1 & 2 & 3 \\  4 & 5 & 6 \\  7 & 8 & 9 \\  \...
 ...array}
{ccc}
 1 & 3 & 2 \\  4 & 6 & 5 \\  7 & 9 & 8 \\  \end{array} \right\vert$


ad (6)
$
 \left\vert 
 \begin{array}
{ccc}
 1 & 2-2\cdot 1 & 3 \\  4 & 5-2\cdot 4 & 6 \...
 ...array}
{ccc}
 1 & 2 & 3 \\  4 & 5 & 6 \\  7 & 8 & 9 \\  \end{array} \right\vert$



Einige Eigenschaften lassen sich leicht herleiten.


(1) + (2) $\Rightarrow$ (4):

$0 = 
\det(\ldots,\mathsfbf{a}_i+\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_i+\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots)
 + \det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$
${}+ \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots)
 + \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)
 +\det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots)$


(1) + (2) $\Rightarrow$ (5):

$\det(\ldots, \mathsfbf{o},\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)=$

$=\det(\ldots,\mathsfbf{a}_k-\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)
 - \det(\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=0-0=0$


(1) + (2) $\Rightarrow$ (6):

$\det(\ldots,
\mathsfbf{a}_i+\alpha\,\mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)=$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)
 +\alpha\,\det(\ldots,
 \mathsfbf{a}_k,\ldots,\mathsfbf{a}_k,\ldots)$

$=\det(\ldots, \mathsfbf{a}_i,\ldots, \mathsfbf{a}_k,\ldots)$


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung