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Die Stammfunktion

DEFINITION (STAMMFUNKTION)
Eine Funktion $F(x)$ heißt  Stammfunktion einer Funktion $f(x)$, falls $F'(x)=f(x)$.

Berechnung:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \textbf{Vermuten und Verifizieren}$}}$

BEISPIEL
Wir suchen die Stammfunktion von $f(x)=\ln(x)$.

$$F(x)=x\,(\ln(x)-1)$$ Vermuten:

$$F'(x)=\left(x\,(\ln(x)-1)\right)'=$$ Verifizieren:

$$=1\cdot(\ln(x)-1) + x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)$$

$$F(x)=x\,(\ln(x)-1)+5$$ Aber auch:

$$F(x)=x\,(\ln(x)-1)+c$$ oder:

Dieses $c$ heißt  Integrationskonstante.

Zur Erleichterung gibt es Tabellen mit bekannten Stammfunktionen, sogenannten  Grundintegralen.

$$f(x) F(x)$$

$$c$$

$$x^\alpha \frac{1}{\alpha+1}\cdot x^{\alpha+1}+c$$

$$e^x e^x+c$$

$$\frac{1}{x} \ln(x)+c$$

$$\cos(x) \sin(x)+c$$

$$\sin(x) -\cos(x)+c$$

Die Stammfunktion wird auch mit $$\int f(x)\,\mbox{dx}$$ bezeichnet und dabei -- nicht ganz richtig -- als das  unbestimmte Integral der Funktion bezeichnet. Das Suchen der Stammfunktion heißt daher auch  Integrieren.

Zum Auffinden von Stammfunktionen stehen ein paar Werkzeuge zur Verfügung, die es uns erlauben, die Stammfunktionen von komplizierten Funktionen auf Grundintegrale zurückzuführen ( Integrationsverfahren).

 

Bezeichnung Verfahren

$$\int f\cdot g'\,\mbox{dx} = f\cdot g - \int f'\cdot g\,\mbox{dx}$$ Partielles Integrieren

$$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,\mbox{dx} =\int f(z) \,\mbox{dz}$$ Substitution

$$z=g(x) \mbox{dz}=g'(x)\,\mbox{dx}$$

BEISPIEL PARTIELLES INTEGRIEREN
Wir suchen die Stammfunktion von $f(x)=x\cdot e^x$.

$$\int\underbrace{x}_{f}\cdot\underbrace{e^x}_{g'}\mbox{dx} =... ..._{f'}\cdot\underbrace{e^x}_{g}\mbox{dx} = x\cdot e^x - e^x+c$$

$$\begin{array} {lcl} f=x & \quad\Rightarrow\quad & f'=1\\ g'=e^x & \quad\Rightarrow\quad & g=e^x \end{array}$$

BEISPIEL SUBSTITUTION
Wir suchen die Stammfunktion von $f(x)=2x\cdot e^{x^2}$.

$$\int \exp(\underbrace{x^2}_{g(x)})\cdot \underbrace{2x}_{g'(x)} \mbox{dx} =\int \exp(z)\,\mbox{dz}=e^z+c=e^{x^2}+c$$

$$z=g(x)=x^2\quad\Rightarrow\quad \mbox{dz} = g'(x) \mbox{dx} = 2x\,\mbox{dx}$$

Es kann auch sein, daß diese Integrationsverfahren mehrmals angewendet werden müssen.

BEISPIEL
Wir suchen die Stammfunktion von $f(x)=x^2\cdot e^x$. Partielles Integrieren:

$$\int\underbrace{x^2}_{f}\cdot\underbrace{e^x}_{g'}\mbox{dx} ... ... -\int\underbrace{2x}_{f'}\cdot\underbrace{e^x}_{g}\mbox{dx}$$

Durch nochmaliges partielles Integrieren erhalten wir

$$\int\underbrace{2x}_{f'}\cdot\underbrace{e^x}_{g}\mbox{dx} =2 (x\cdot e^x - e^x)+c$$

und somit insgesamt

$$\int x^2\cdot e^x\mbox{dx} = x^2\cdot e^x - 2 (x\cdot e^x - e^x)+c$$

Für das Suchen von Stammfunktionen gibt es keine ,,Kochrezepte``.

Es gibt Funktionen, deren Stammfunktionen sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.

BEISPIEL
Die Stammfunktion von $e^{-\frac{1}{2}x^2}$ läßt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken.

(Diese Funktion ist aber trotzdem in der Statistik von großer Bedeutung.)