Dank an Frau Doris Kopp fuer die Loesungen zum Kapitel 7. Ich habe sie durchgerechnet. M.H. #B1/5ff: Besitzen die Zufallsvariablen (fuer alle beliebig ausgewaehlten Zeitpunkten) eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung, so bilden sie einen stochsatischen Prozess. (a) Aktienschlusskurse, Zeitachse: Tage (5-Tagewoche) (b) Intraday-Daten fuer Aktien (Tic-Daten) werden als stetiger Prozess modelliert. Theoretisch koennte sich jede Zehntelsekunde ein Kurs bilden. #B2/10ff: 1. Endliche Anzahl von Zustaenden 2. Anfangsverteilung 3. Uebergangswahrscheinlichkeiten #B3/9: Die Markoffeigenschaft besagt, dass die Vergangenheit des Prozesses fuer den naechsten Schritt in die Zukunft irrelevant ist. Nur der letzte Zustand ist von Bedeutung. #B4/10ff: s=2, {Regen, Sonne} ... Zustandsraum Anfangswahrscheinlichkeiten: X_0 P(Regen) = 0.4 = q1 X_0 P(Sonne) = 0.6 = q2 Uebergangsmatrix P: Zustand j Regen Sonne Zustand i Regen 0.3 0.7 Sonne 0.1 0.9 P(x_t+1 = R|x_t=R) = p_11 = p_RR= 0.3 P(x_t+1 = S|x_t=R) = p_12 = p_RS = 0.7 P(x_t+1 = R|x_t=S) = p_21 = p_SR = 0.1 P(x_t+1 = S|x_t=S) = p_22 = p_SS = 0.9 ** Entwerfen Sie auch ein etwas komplizierteres Modell mit 3 Zustaenden ** #B5/10ff: (a) P(x_0 = i) = q_i(0) P(x_0 = 2) = q2 = 0.6 (b) s = 2 Regen, Sonne (c) Summe P(X0=i) = q1 + q2 = 0.3 + 0.7 = 1 (d) Summe p2j = q1 + q2 = 0.1 + 0.9 = 1 #B6/15ff: (a) p_11(0) = 1 (b) p_11(1) = 0.3 (c) p_11(2) = P(X_t+2 = 1|X_t = 1) = ? P^2 = |0.16 0.84| |0.12 0.88| p_11(2) = 0.16 (d) P(X_t+1 = 1|X_t = 1) = p_11(1) = 0.3 #B7/17: (a) P(X_t+2 = 1|X_t = 2) = p_21(2) 2-Schritt-Uebergangsmatrix P^2 = |0.16 0.84| |0.12 0.88| p_21(2) = 0.12 (b) P(X_t+3 = 1|X_t = 2) = p_21(3) 3-Schritt-Uebergangsmatrix P^3 = |0.132 0.868| |0.124 0.876| p_21(3) = 0.124 #B8/24ff: (a) P(X_t = 1) = q_1(0) = 0.3 (b) P(X_t+2 = 2) = q_2(2) (0.4 0.6) * |0.16 0.84| = (0.136, 0.864) |0.12 0.88| q_2(2) = 0.864 (c) P(X_t+3 = 1) = q_1(3) (0.3 0.7) * |0.132 0.868| = (0.1264, 0.8736) (!) |0.124 0.876| q_1(3) = 0.1264 (d) {P(X_t+3 = 1), P(X_t+3 = 2)}' = q(3) = (0.1264, 0.8736)' #B9/28f: ** Mit den Antworten von den Folien fuer das Ruinbsp ueben sie nicht. ** ** Entwerfen sie dazu eigene 3 x 3 Uebergangsmatrizen. ** (a) vom Zustand 1 erreichbar? Fuer B11, P_5: 1 -> 2,3 -> 1 Fuer B11, P_6: 1 -> 1,3 -> 1,3 (b) kommunizieren? Fuer B11, P_5: 1,1 / 1,2 / 1,3 / 2,(->1->)2 / 2,3 / 3,3 Fuer B11, P_6: 1,1 / 1,3 / 2,2 / 3,3 1-> .. -> 2 nicht, 2 -> 1 / 3-> .. -> 2 nicht, 2 -> 3 (c) sind transient (=voruebergehend)? Fuer B11, P_5: kein Zustand Fuer B11, P_6: Zustand 2 (d) sind absorbierend? Fuer B11, P_5: keiner Fuer B11, P_6: keiner Fuer B15, P_JPM: Zustand 3 (e) sind rekurrent? Fuer B11, P_5: 1,2,3 Fuer B11, P_6: 1,3 (f) abgeschlossene Menge von Zustaenden? Fuer B11, P_5: keine (S = {1,2,3} trivialerweise) Fuer B11, P_6: S = {1,3} #B10/30ff: (a) ergodisch (= rekurrent, aperiodisch, alle kommuniziern)? Bsp: Ruinbeispiel nicht ergodisch, 1,2,3 sind nicht rekurrent. Es gibt Zustaende von denen ich nicht mehr herauskomme. Fuer B11, P_5: alle Zustaende rekurrent -> ergodisch Fuer B11, P_6: 2 kommuniziert nicht -> nicht ergodisch (b) reduzierbar? Fuer B11, P_5: nicht reduzierbar , da ergodisch Bsp: Ruinbeispiel nicht reduzierbar, weil es 2 abgeschlossene Mengen gibt (0 und 4) Fuer B11, P_6: reduzierbar. Starten wir in 2 -> 1,2,3. Einmal in 1 oder 3, bleiben wir in S={1,3}. Die Matrix P_6 kann daher wie folgt angeschrieben werden: 1.Zeile mit 2.Zeile und im naechsten Schritt 1.Spalte mit 2.Spalte vertauschen. 2 1 3 2 |0.3 0.4 0.3| 1 |0 0.5 0.5| 3 |0 0.6 0.4| #B11/30f: (a) weil es 2 abgeschlossene Mengen gibt (b.1) P_5 = |0.2 0.3 0.5| |0.4 0 0.6| |0.6 0 0.4| Vertausche Spalte 1 und Spalte 2 P_5 = |0.3 0.2 0.5| |0 0.4 0.6| |0 0.6 0.4| Wenn ich 1. und 2. Spalte vertauscht habe, so muss ich auch die 1. und 2. Zeile vertauschen. P_5 = |0 0.4 0.6| |0.3 0.2 0.5| |0 0.6 0.4| NEIN, P_5 ist nicht reduzierbar. Die Matrix hat nach Umformung nicht das typische Bild |A B| |0 C| Alle Zustände kommunizieren. (b.2) P_6 = |0.5 0 0.5| |0.4 0.3 0.3| |0.6 0 0.4| Vertausche Zeile 2 und Zeile 1. P_6 = |0.4 0.3 0.3| |0.5 0 0.5| |0.6 0 0.4| Jetzt muss man auch noch Spalte 2 mit Spalte 1 vertauschen. P_6 = |0.3 0.4 0.3| |0 0.5 0.5| |0 0.6 0.4| JA, die Kette ist reduzierbar. Hat nach der Umformung das richtige Bild. Zustand 2 ist von 1 und 3 nicht erreichbar. Matrix C besteht aus den 1<->3 Uebergaengen. #B12/36ff: Steady State Verteilung = stationaere Verteilung q_2(infinity) = P(X_infinity = 2) P = |0.3 0.7| P' = |0.3 0.1| P'-I = |-.7 0.1| |0.1 0.9| |0.7 0.9| |0.7 -.1| ** Eigenwerte muessen wir nicht berechnen! ** Suchen Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Matrix P'. (P' - I) pi = 0 Erste Gleichung aus (P'-I): (0.3-1)pi_1 + 0.1pi_2 = 0 Fuer pi_2 = 70 ergibt sich -.7pi_1 = -7 , also pi_1 = 10 Normierung: pi = ( 10/(10+70) 70/(10+70) )' = (0.125 0.875)' = = Steady State Verteilung P^infinity = |0.125 0.875| |0.125 0.875| |... ... | q_2(infinity) = P(X_infinity = 2) = pi_2 = 0.875 #B13/39: P = |0.3 0.7| det(P-mI) = 0 |0.1 0.9| det (P-mI) = (0.3-m)(0.9-m) - 0.7*0.1 = m**2 - 1.2m + 0.2 = = (m-1)(m-0.2) m_1 = 1, m_2 = 0.2 #B14/36ff: P_5 = |0.2 0.3 0.5| |0.4 0 0.6| |0.6 0 0.4| P_5^(transponiert) * pi = |0.2 0.4 0.6| * |pi_1| = |pi_1| = pi |0.3 0 0 | |pi_2| |pi_2| |0.5 0.6 0.4| |pi_3| |pi_3| ( oder (P' - I)pi = 0 ) 0.2pi_1 + 0.4pi_2 + 0.6pi_3 = pi_1 => -0.8pi_1 + 0.4pi_2 + 0.6pi_3 = 0 0.3pi_1 = pi_2 => 0.3pi_1 - pi_2 = 0 Die 3.Gleichung brauchen wir nicht. => pi_2 = 0.3pi_1 Ersetzen von pi_2 in 1.Gleichung. -.8 pi_1 + 0.4(0.3pi_1) + 0.6pi_3 = 0 -.68pi_1 + 0.6pi_3 = 0 Setzen pi_3 = 1. -> pi_1 = 0.3/0.34 = 0.8824 pi_2 = 0.2647 pi_3 = 1 Summe der pi_j = 2.147 (zum Normieren) pi = ( 0.4137 0.1233 0.4657 ) ' #B15/45ff: Cola-Bsp (urpsruengliche Version): m21 = mittlere erste Durchgangszeit, durchschnittliche Anzahl von Schritten von 2 ausgehend zu ersten Mal in 1 anzukommen. j = 1 -> fix, Gleichungen auf Folie 46 (2.Gleichung) i=1, j=1: m11 = 1 + m21 p12 (k=2) i=2, j=1: m21 = 1 + m21 p22 (k=2) m21 = 1 + 0.80 m21 -> m21 = 1/0.2 = 5 D.h. nach durchschnittlich 5 Cola 2 Kaeufen wechselt der Konsument zum ersten Mal zu Cola 1. m22 = 1/pi_2 = 1/ (1/3) = 3 D.h. nach durchschnittlich 3 Kaeufen von Cola 1 kehrt ein Cola 2 Konsument wieder zum ertsen Mal zu Cola 2 zurueck. #B16/53ff: |0.9 0.1 0| | Q R| P_JPM = |0.3 0.5 0.2| = | 0 I| |0 0 1| I - Q = |1 0| |0.9 0.1| | 0.1 -0.1| |0 1| - |0.3 0.5| = |-0.3 0.5| (I-Q)^-1 = |25 5| = FUNDAMENTALMATRIX |15 5| (a) [(I-Q)^-1]_11 : 25 Perioden wird sich das WP in guter Bonitaet befinden (b) [(I-Q)^-1]_12 : 5 Perioden wird sich das WP in schlechter Bonitaet befinden (c) "das Papier" bezieht sich auf ein Papier guter Bonitaet. Das ist gute und schlechte Bonitaet aber nicht default: [(I-Q)^-1]_11 + [(I-Q)^-1]_12 = 25 + 5 = 30 Perioden (d) { [(I-Q)^-1]*R }_11 : [(I-Q)^-1]*R = |25 5| * |0 | = |1| |15 5| |0.2| |1| D.h. dass das WP auf jeden Fall einmal default wird. In unendlich = vielen Perioden muss es irgendwann einmal default werden, da dieser Zustand erreichbar ist, und zwar mit einer 1-Schritt Uebergangsws von 20%.