Dank an Frau Doris Kopp fuer ihre Loesungen zu den Beispielen. Alle Beispiele sind nachgerechnet. ****************** Beispiele Kap4.txt ****************** B10/33f: (a) yt+2 + 4yt+1 + yt = 4 y0=1 a_0=1 a_1=4 a_2=1, n=2 Es reicht: Delta_1 = det( 1 1 1 1) = 0 (verlangt waere > 0 für Konvergenz) Keine Konvergenz, b_{1,2} = -2 +/- sqrt{3} (b) yt+2 + 4yt+1 + 4yt =3 y0=(-1) a_0=1 a_1=4 a_2=4, n=2 Es reicht: Delta_1 = det( 1 4 4 1) = -15 Keine Konvergenz, b_{1,2} = -2 B11: (a) S_{n+1} -5 S_{n} = 1, S_0 = 1 S_n = (5/4)(5)^t - (1/4) = [1/(1-5)]*(1- 5^{n+1}) = Summenformel (b.1) a0 = 0 a1 = 1 an = an-1 + an-2 a2 = a2-1 + a2-2 = a1 + a0 = 1 + 0 = 1 a3 = a3-1 + a3-2 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2 a4 = a4-1 + a4-2 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3 a5 = a5-1 + a5-2 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5 a6 = a6-1 + a6-2 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8 a7 = a7-1 + a7-2 = a6 + a5 = 8 + 5 = 13 a8 = a8-1 + a8-2 = a7 + a6 = 13+ 8 = 21 a9 = a9-1 + a9-2 = a8 + a7 = 21+13 = 34 (b.2) a_{n+2} - a_{n+1} - a_n = 0 mit a_0=0, a_1=1 b^2-b-1=0 a_n = A_1 [(1/2)(1+sqrt{5})]^n + A_2 [(1/2)(1-sqrt{5})]^n + 0 A_1 = 1/sqrt{5} A_2=-1/(2 sqrt{5}) a_100 = 3.54225E+20 ****************** Beispiele Kap5.txt ****************** Bsp 1: det(A) = (a-m)(d-m) - (bc) det(A) = ad - am - dm - m^2 - bc LOESUNG: m_1,2 =/= 1/2( a + d +- sqrt[ (a-b)^2 + 4bc ] ) Bsp.2/2: (a) x=(0,0) (b) det(B) = -1*-1 - 1*1 = 0 1.Gleichung -x+y=0 Eine Lsg ist x=1,y=1. (x y)' = (0 0)' + lambda (1 1)' , lambda aus R, unendlich viele Lsgen Die Lsg hat die Dimension 1. Bsp.3/3: (a) det(A) = 9*6 - 2*2 = 54 - 4 = 50 (b) det(B) = -1*-1 - 1*1 = 1 - 1 = 0 Bsp.4/3: (a) det|9-L 2| |2 6-L| = 54 - 15L + L^2 - 4 = 0 L^2 - 15L + 50 = 0 fuer L1 = 10, L2 = 5 (b) det|-1-L 1| |1 -1-L| = 1 - 2L + L^2 - 1 = 0 L^2 - 2L = 0 fuer L1 = 0, L2 = -2 Bsp.5/4ff: Eigenvektor zu L1=10 |9 2| |1 0| * |x| = |0| |2 6| - 10 |0 1| |y| |0| |-1 2| * |x| = |0| | 2 -4| |y| |0| bzw. -x + 2y = 0 2x - 4y = 0 Aus 1.Gleichung zB x1 = (2,1) -> x1N = 1/sqrt(2^2+1^2) * (2,1) = (0.8944272, 0.4472136) (ein Spaltenvektor) Eigenvektor zu L1=5 |9 2| |1 0| * |x| = |0| |2 6| - 5 |0 1| |y| |0| |4 2| * |x| = |0| |2 1| |y| |0| bzw. 4x + 2y = 0 2x + y = 0 Aus 1.Gleichung zB x2 = (-1, 2) -> x2N = 1/sqrt(-1^2+2^2) * (-1,2)= (-0.4472136,0.8944272) (ein Spaltenvektor) x1 und x2 (beide Spaltenvektoren) stehen orthogonal aufeinander: x1transponiert * x2 = 0 Bsp6/4ff: Eigenvektor zu L1=0 |-1 1| |1 0| * |x| = |0| | 1 -1| - 0 |0 1| |y| |0| |-1 1| * |x| = |0| | 1 -1| |y| |0| bzw. -x + y = 0 x - y = 0 Aus 1.Gleichung zB x1 = (1,1) -> x1N = 1/sqrt(1^2+1^2) * (1,1) = (0.7071068,0.7071068) (ein Spaltenvektor) Eigenvektor zu L2=-2 |-1 1| |1 0| * |x| = |0| | 1 -1| + 2 |0 1| |y| |0| | 1 1| * |x| = |0| | 1 1| |y| |0| bzw. x + y = 0 x + y = 0 Aus 1.Gleichung zB x2 = (1,-1) -> x2N = 1/sqrt(1^2+(-1)^2) * (1,-1)= (0.7071068,-0.7071068) (ein Spaltenvektor) x1 und x2 (Spaltenvektoren) orthogonal aufeinander stehen: x1transponiert * x2 = 0 B7/11: (a) C ist obere Dreiecksmatrix -> Hauptdiagonalelemente sind ihre Eigenwerte L1 = 1 , L2 = 4 (b) D ist Diagonalmatrix -> Hauptdiagonalelemente sind ihre Eigenwerte L1 = -1, L2 = -2 B8/12: Matrix A: quadratische Matrix, invertierbar, det(A) =/= 0, symmetrisch, Eigenwerte > 0 (L=5,10) , positiv definit Matrix B: quadratische Matrix,nicht invertierbar da 1 Eigenwert = 0 (L=0,-2) det(B)=0, negativ semidefinit, symmetrisch, Matrix C: obere Dreiecksmatrix,invertierbar, positiv definit (L=1,4), nicht symmetrisch Matrix D: Diagonalmatrix, invertierbar, negativ definit (L=-1,-2), symmetrisch B9/13: det(A) = 50, L1=10, L2=5 -> 10*5 = 50 det(B) = 0, L1=0, L2=-2 -> 0*-2 = 0 det(C) = 4, L1=1, L2=4 -> 1*4 = 4 det(D) = 2, L1=-1, L2=-2 ->-1*-2 = 2 B10/14: sp(A) = 9+6 = 15 -> L1 + L2 = 10 + 5 = 15 sp(B) = -1+(-1) = -2 -> L1 + L2 = 0 +(-2)= -2 sp(C) = 1+4 = 5 -> L1 + L2 = 1 + 4 = 5 sp(D) = -1+(-2) = -3 -> L1 + L2 = -1+(-2)= -3 B11/15f: TAT' T = normierte Eigenvektoren A = Diagonalmatrix mit Eigenwerten in der Hauptdiagonale T'= Transponierte der normierten Eigenvektoren |0.894 -0.447| * |10 0| * | 0.894 0.447| = A |0.447 0.894| | 0 5| |-0.447 0.894| B12/18f: (a) L1 = 0.4, L2 = 0.9 -> Eigenwerte < 1 -> I + A + A^2 + A^3 + ...=(I - A)^-1 |1 0| - |0.4 0| ^-1 |0 1| |2 0.9| |0.6 0| ^-1 = |0.1 0| 1/(0.6*0.1-0) = |1.67 0| |-2 0.1| |2 0.6| |33.3 10| (b) L1 = 1/2, L2 = 1/3 -> Eigenwerte < -> I + A + A^2 + A^3+ ...=(I - A)^-1 |1 0| - |1/2 0| ^-1 |0 1| |0 1/3| |0.5 0 | ^-1 = |2 0| |0 0.67| |0 1.5| B13/19: A^0 -> |1 0| |0 1| A^1 -> |1/2 0| |0 1/3| A^2 -> |1/4 0| |0 1/9| A^3 -> |1/8 0| |0 1/27| A^n -> |(1/2)^n 0 | |0 (1/3)^n| ****************** Beispiele Kap6.txt ****************** B1/2f: yt+2 + 2yt+1 + 3yt = 3 y0=1, y1=2 (a) als Gleichungssystem xt = yt+1 (xt+1 = yt+2) xt+1 + 2xt + 3yt = 3 - xt + yt+1 = 0 (b) in Matrixschreibweise |1 0|*|xt+1| + |2 3|*|xt| = |3| |0 1| |yt+1| |-1 0| |yt| |0| B2/4f: yt+3 + 5yt+2 + 2yt+1 + 3yt = 4 y0=1, y1=2, y2=3 (a) als Gleichungssystem zt = yt+1 (zt+1 = yt+2) xt = zt+1 (xt+1 = zt+2 = zt+3) xt+1 + 5xt + 2zt + 3yt = 4 zt+1 - xt = 0 yt+1 - zt = 0 (b) in Matrixschreibweise |1 0 0|*|xt+1| + | 5 2 3|*|xt| = |3| |0 1 0| |zt+1| |-1 0 0| |zt| |0| |0 0 1| |yt+1| | 0 -1 0| |yt| |0| B3/2ff: yt+1 + 5yt = 3 y0=-1 |1| * |yt+1| + |5|*|yt| = 3 B4/15f: PARTIKULAERE LOESUNG (a) xt+1 = xt = x yt+1 = yt = y 2x + 1/4y = 9 y - x = 0 /*(-2) 2x + 1/4y = 9 -2x + 2y = 0 /+Z1 => 9/4y = 9 y = 4 = x (b) xt+1 = xt = x yt+1 = yt = y 2x + 9y = 9 x + 2y = 2 /*2 2x + 9y = 9 2x + 4y = 4 /-Z1 => - 5y = -5 y = 1, x = 0 (c) xt+1 = xt = x yt+1 = yt = y 2x + 3y = 5 2x + 3y = 0 /-Z1 0 + 0 = -5 => NICHT MOEGLICH, DAHER: xt = k1*t, yt=k2*t 2*k1*t + k1 + 3*k2*t = 5 2*k1*t + k2 + 3*k2*t = 0 /*(-1) , +Z1 k1= k2+5 x = (k2+5)*t y = k2*t B5/17ff: x = m b^t y = n b^t, homogenes System (b + 1)m + 1/4n = 0 -m + bn = 0 In Matrixform: |b+1 1/4| * |m| = |0| |-1 b | |n| = |0| (m=n=0 ist immer eine Loesung) Matrix ist singulaer, daher: b^2 + b + 1/4=0 (charakteristische Gleichung) b1 = b2 = (-1/2) = b -> 2 doppelt reelle Nullstellen 1.Gleichung: (-1/2 +1)m + 1/4n = 0 -> m = (-1/2)n b1=(-1/2): Setzen n = A3 -> m = (-1/2)A3 b2=(-1/2): Setzen n = A4 -> m = (-1/2)A4 Komplementaere Lsg: xt = (-1/2)A3(-1/2)^t + (-1/2)A4*t*(-1/2)^t yt = A3(-1/2)^t + A4*t*(-1/2)^t KOMPLEMENTAERE LOESUNG IN MATRIXNOTATION: |1 0| * |xt+1| + |1 1/4|*|xt| = |0| |0 1| |yt+1| |-1 0| |yt| = |0| bI + K = (0 0)' -> det(bI+K) = 0 -> b^2 + b + 1/4=0 , b1=b2=(-1/2) -> ... w.o. B6/23f: (vgl neue Angabe) (a) b^2 + b - 1/4 =0 (siehe B5) Charakteristische Gleichung b1 = b2 = (-1/2) = b Charakteristische Wurzeln (b) x0 = 3, x1=5: y = yc + yp Loesung ohne Anfangswerte: xt = (-1/2)A3(-1/2)^t + (-1/2)A4*t*(-1/2)^t + 4 yt = A3(-1/2)^t + A4*t*(-1/2)^t + 4 Loesung mit Anfangswert bei t=0: x0 = 3 = (-1/2)A3 + 4 -> A3 = 2 Loesung mit Anfangswert bei t=1: x1 = 5 = (-1/2)2(-1/2)^1 + (-1/2)A4*1*(-1/2)^1 + 4 -> A4 = 2 Loesung mit Anfangswerte: xt = -(-1/2)^t - t*(-1/2)^t + 4 yt = 2(-1/2)^t + 2*t*(-1/2)^t + 4 B7/30ff: |b+1 9 | * |m| = |0| |1 b+1| |n| = |0| (m=n=0 ist immer eine Loesung) det(bI+K)=0 -> b^2 + 2b - 8 = 0 (charakteristische Gleichung) -> b1 = 2, b2 = -4 2 versch. reelle Nullstellen x = m b^t, y = n b^t b1= 2: 1.Gleichung 3m + 9n = 0 -> m = -3n n=A1 b2= -4: 1.Gleichung -3m + 9n = 0 -> m = 3n n=A2 Komplementaere Loesung xt = (-3)A1(2)^t + 3A2(-4)^t yt = A1(2)^t + A2(-4)^t Partikulaere Lsg x=0, y=1 Lsg ohne Anfangswerte xt = (-3)A1(2)^t + 3A2(-4)^t + 0 yt = A1(2)^t + A2(-4)^t + 1 Anfangswerte: x0 = (-3)A1 + 3*A2 = 3 y0 = A1 + A2 + 1 = 4 -> A1=1, A2=2 Lsg mit Anfangswerte xt = (-3)(2)^t + 6(-4)^t yt = (2)^t + 2(-4)^t + 1 B8/23f: (a) s.o. det(bI+K)=0 -> b^2 + 2b - 8 = 0 (charakteristische Gleichung) -> b1 = 2, b2 = -4 2 versch. reelle Nullstellen (b) B7 mit x0=1 und y0=2: x0 = (-3)A1 + 3*A2 = 1 y0 = A1 + A2 + 1 = 2 -> A1=1/3, A2=2/3 B9: (B5) b1 = b2 = (-1/2) = b -> 2 doppelt reelle Nullstellen (Betrag) |b1| = |b2| = 0.5 < 1 -> stabiles System (B7) b1 = 2, b2 = -4 2 versch. reelle Nullstellen (Betrag) |b1| = 2 > 1, |b2| = 4 > 1 -> explodierendes System